Autor Tema: Una variante del lema de recubrimiento de Vitali

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23 Noviembre, 2022, 07:38 pm
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FerOliMenNewton

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Hola,
Supongamos que tenemos una colección finita de bolas cerradas en \( \mathbb{R}^2 \), digamos \( B(x_1,r_1), \cdots, B(x_n,r_n) \). Sea \( \mu \) la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}^2 \). Quiero probar que existe una subcolección  \( B(x_{i_1},r_{i_1}), \cdots, B(x_{i_k},r_{i_k}) \) de bolas disjuntas, de forma que su unión \( U \) satisfaga
\( 4\mu(U) \geq \mu \left(  \cup_{i=1}^{n} B(x_i,r_i) \right) \)
Como quizás algunos saben, la diferencia con el lema de recubrimiento original es la constante que aparece. De hecho, para serles sincero, mis entrañas me dicen que esto es falso pero no he podido dar un contraejemplo :P así que tal vez podría ser cierto.
Usualmente, el truco está en suponer sin pérdida de generalidad que \( r_1 \geq \cdots \geq r_n \) y quitar a todas las bolas que intersecten a \( B(x_1,r_1) \). De las bolas que queden nos fijamos en la que tenga el radio más grande, digamos, \( r_{i_2} \) y  hacemos lo mismo, i.e., quitamos a todas las que intersecten a \( B(x_{i_2},r_{i_2}) \) y así sucesivamente. Después de un número finito de pasos obtenemos una subcolección disjunta y por la desigualdad triangular tenemos que cualquier bola está contenida en alguna \( B(x_{i_k},{3r_{i_k}}) \). Por supuesto, intenté adaptar el truco pero no funcionó :P. ¿Alguna sugerencia o contraejemplo que se les ocurra?
De antemano gracias.
Saludos
Añadido: He olvidado decir que la subcolección debe ser de bolas disjuntas entre sí, ya lo he añadido :)

24 Noviembre, 2022, 09:19 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola,
Supongamos que tenemos una colección finita de bolas cerradas en \( \mathbb{R}^2 \), digamos \( B(x_1,r_1), \cdots, B(x_n,r_n) \). Sea \( \mu \) la medida de Lebesgue en \( \mathbb{R}^2 \). Quiero probar que existe una subcolección  \( B(x_{i_1},r_{i_1}), \cdots, B(x_{i_k},r_{i_k}) \) de estas bolas de forma que su unión \( U \) satisfaga
\( 4\mu(U) \geq \mu \left(  \cup_{i=1}^{n} B(x_i,r_i) \right) \)

No se si estoy despistado, pero sospecho que querías poner otra cosa. La desigualdad que pones no veo que tenga que ver con la del Lema de Vitali. Tal como está escrita se cumple siempre trivialmente tomando como subcolección toda la colección. En ese caso simplemente estarías diciendo que:

\( 4\mu(U)\geq \mu(U) \)

Revisa.

Saludos.

24 Noviembre, 2022, 02:05 pm
Respuesta #2

FerOliMenNewton

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Hola Luis,
Sí, perdón. Olvidé decir que la subcolección debe ser de bolas disjuntas entre sí :P. Ya he marcado en rojo la corrección :)

Saludos