Autor Tema: Área máxima

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23 Noviembre, 2022, 01:16 am
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petras

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Considera el rectángulo 𝑅 con dimensiones 𝑎 y 𝑏 y el rectángulo 𝑊 que circunscribe 𝑅 tal que cada lado de 𝑊 contiene solo un vértice de 𝑅. Entonces, encuentra la expresión que representa el área máxima de 𝑊.(R:\( \frac{1}{2}(a+b)^2 \))

No puedo seleccionar las variables,. probablemente alcanzará una función cuadrática. Si fueran dos cuadrados sería más fácil.
Aquí hay un dibujo que hice para ayudar.


23 Noviembre, 2022, 02:05 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Observa que el rectángulo R es fijo en sus dimensiones, el rectángulo W tiene una cualidad todos sus vértices J, K, L, N pertenecen a los arcos capaces de los diámetros BC, CD, DE, EB respectivamente y esto implica que el rectángulo W, esta determinado considerando un solo punto de cualquier arco capaz, es decir por ejemplo, que si se considera un punto J como vértice, W ya esta determinado (verifica construyendo W a partir de J) entonces, si se identifica con alguna cantidad J, el área de W quedaría en función de esa cantidad. Considerando la cantidad que identifica a J, al ángulo \( \angle JBC= \theta \) se tiene :

\( x=b sen \theta, \ z=b cos \theta, \  \) observa que \( \angle DCK= \theta, \ \ \angle EBN=(90-\theta) \) y esto implica \( y=a cos \theta, \ w=a cos (90-\theta)=a sen \theta \)

Con esto ya se tienen los lados del rectángulo W y son :

\( x+y=b sen \theta+ a cos \theta, \ \ z+w=b cos \theta+ a sen \theta \)

En consecuencia \( Area(W)(\theta)=(b sen \theta+ a cos \theta)(b cos \theta+ a sen \theta)=ab+\displaystyle\frac{(b^2+a^2)}{2} \ sen (2 \theta), \ \ \ 0<\theta<\pi/2 \)

Hallar el máximo de la función en ese intervalo, función derivable 2 veces con continuidad y se obtiene la respuesta


Saludos

23 Noviembre, 2022, 09:55 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Considera el rectángulo 𝑅 con dimensiones 𝑎 y 𝑏 y el rectángulo 𝑊 que circunscribe 𝑅 tal que cada lado de 𝑊 contiene solo un vértice de 𝑅. Entonces, encuentra la expresión que representa el área máxima de 𝑊.(R:\( \frac{1}{2}(a+b)^2 \))

No puedo seleccionar las variables,. probablemente alcanzará una función cuadrática. Si fueran dos cuadrados sería más fácil.
Aquí hay un dibujo que hice para ayudar.



Otra forma. Si llamas \( h_a,h_b \) respectivamente a los triángulos \( CDK \) y \( DEL \) el área del rectángulo circunscrito es:

\( A=a\cdot h_a+b\cdot h_b+ab \)

Dado que los triángulos indicados son rectángulo en el ángulo opuesto a \( a,b \), el máximo valor posible de la altura es la mitad del lado:

\( h_a=a/2 \) y \( h_b=b/2 \)

En ese caso ambos triángulos son isósceles  y por tanto el ángulo que forman los lados del rectángulo circunscrito es de \( 45^o \). Es un rectángulo viable y por tanto el área máxima es:

\( A=a\cdot a/2+b\cdot b/2+ab=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+2ab)=\dfrac{1}{2}(a+b)^2 \)

Saludos.

CORREGIDO (una errata del LaTeX que impedía ver la fórmula)

23 Noviembre, 2022, 04:17 pm
Respuesta #3

petras

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Gracias a todos
Saludos

23 Noviembre, 2022, 04:19 pm
Respuesta #4

petras

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Hola

Considera el rectángulo 𝑅 con dimensiones 𝑎 y 𝑏 y el rectángulo 𝑊 que circunscribe 𝑅 tal que cada lado de 𝑊 contiene solo un vértice de 𝑅. Entonces, encuentra la expresión que representa el área máxima de 𝑊.(R:\( \frac{1}{2}(a+b)^2 \))

No puedo seleccionar las variables,. probablemente alcanzará una función cuadrática. Si fueran dos cuadrados sería más fácil.
Aquí hay un dibujo que hice para ayudar.



Otra forma. Si llamas \( h_a,h_b \) respectivamente a los triángulos \( CDK \) y \( DEL \) el área del rectángulo circunscrito es:

\( A=a\cdot h_a+b\cdot h_b+ab \)

Dado que los triángulos indicados son rectángulo en el ángulo opuesto a \( a,b \), el máximo valor posible de la altura es la mitad del lado:

\( h_a=a/2 \) y \( h_b=b/2 \)

En ese caso ambos triángulos son isósceles  y por tanto el ángulo que forman los lados del rectángulo circunscrito es de \( 45^o \). Es un rectángulo viable y por tanto el área máxima es:

\( A=a\cdot a/2+b\cdot b/2+ab=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+2ab}=\dfrac{1}{2}(a+b)^2 \)

Saludos.

Gracias
Saludos

\( a.\frac{a}{2}+b.\frac{b}{2}+ab = \frac{1}{2}(a+b)^2 \)