Autor Tema: Intento de UTF3 sin descenso: ¿Sería válido este razonamiento?

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22 Noviembre, 2022, 07:31 pm
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Fernando Moreno

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola,  a ver si ahora.         


Supongamos que  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  para  \( a,b,c \)  enteros -y- coprimos entre sí.     

Si  \( 3 \)  no divide á  \( abc \) ;  puesto que  \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) ,  tendremos que  \( a^3+b^3+c^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Lo que no puede ser.       

Luego  \( 3 \)  debe dividir á  \( abc \) .  Y no perdemos generalidad si suponemos que  \( 3 \)  divide á  \( c \)  -y- que  \( a^3+b^3+c^3=1-1+0 \)  módulo  \( 3 \) .       

Entonces:   

\( -c^3=a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ab) \) .  Donde  \( a+b \)  -y-  \( (a+b)^2-3ab \)  serán coprimos y terceras potencias salvo por  \( 3 \) ;  puesto que  \( 3 \) ,  que divide á  \( c \) ,  debe dividir á  \( a+b \) .  Así  \( 3^{3k-1} \)  dividirá á  \( a+b \)  -y- sólo  \( 3 \)  á  \( (a+b)^2-3ab \) ,  para  \( k\in{\mathbb{N}} \) .     

Tenemos también en  \( \mathbb{Z}(\omega=(-1+\sqrt{-3})/2) \) ,  los enteros de Eisenstein, que  \( (a+b)^2-3ab=(a+b\omega)(a+b\omega^2) \)  -y- que  \( a+b\omega \)  -y-  \( a+b\omega^2 \)  deben ser coprimos salvo por el primo  \( \lambda=1-\omega \) ,  que divide á  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) . Puesto que de su suma:  \( a+b\omega+a+b\omega^2=2a-b \)  -y- de su diferencia:  \( a+b\omega-a-b\omega^2=b(\omega-\omega^2)=b(2\omega+1) \) ,  se desprende que  \( b \) ,  del segundo resultado, no divide á  \( 2a-b \)  -y- sólo  \( 2\omega+1 \) ,  que es igual á  \( (1-\omega)\omega \)  -y- por tanto divisor de  \( 3 \) , divide á  \( 2a-b\equiv{0} \) mod \( 3 \) .  Así:  \( -c^3=(a+b)(a+b\omega)(a+b\omega^2) \) .         

Estrategia: Sostengo que sólo  \( \lambda \)  divide á  \( a+b\omega \) ,  ningún otro factor.  De esta manera  \( \dfrac{a+b\omega}{\lambda} \)  será una unidad de las que hay en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) :  \( (1,\omega,\omega^2) \) .  Supongamos por tanto que no es así con objeto de buscar el absurdo y que  \( \dfrac{a+b\omega}{\lambda}=d+e\omega \) ,  para  \( d,e \)  enteros usuales y coprimos.     

Si  \( \dfrac{a+b\omega}{\lambda}=d+e\omega \) ,  entonces  \( \dfrac{(a+b\omega)\cdot(1-\omega^2)}{(1-\omega)(1-\omega^2)}=d+e\omega \)  \( \Rightarrow \)  \( \dfrac{a+b\omega-a\omega^2-b\omega^3}{3}=d+e\omega \)  \( \Rightarrow \)  \( \dfrac{2a-b+(a+b)\omega}{3}=d+e\omega \) .  Luego  \( 2a-b+(a+b)\omega=3(d+e\omega) \)  -y-  \( 2a-b+(a+b)\omega=-\omega^2\lambda^2(d+e\omega) \) .  Si ahora multiplico en ambos lados de la ecuación por  \( \lambda\omega \) ,  tendré  \( (2a-b)\lambda\omega+(a+b)\lambda\omega^2=-\omega^3\lambda^3(d+e\omega) \) .  Como conocemos (Ver aquí) que  \( d+e\omega \)  es un cubo perfecto de la forma  \( \alpha^3 \)  porque  \( \dfrac{a+b\omega}{\lambda} \)  lo es. Entonces  \( -\omega^3\lambda^3(d+e\omega) \)  será también un cubo perfecto entero de Eisenstein  \( (\beta^3) \) .

Operamos. En primer lugar tenemos que  \( \lambda\omega=(1-\omega)\omega=\omega-\omega^2=1+2\omega \)  -y- que  \( \lambda\omega^2=(1-\omega)\omega^2=\omega^2-\omega^3=-2-\omega \) .  Luego  \( (2a-b)(1+2\omega)+(a+b)(-2-\omega)=\beta^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( 2a+4a\omega-b-2b\omega-2a-a\omega-2b-b\omega=\beta^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( -3b+(3a-3b)\omega=\beta^3 \)  -y-  \( 3(-b+(a-b)\omega)=\beta^3 \) .  Como  \( 3 \)  -y-  \( -b+(a-b)\omega \)  son coprimos salvo por  \( \lambda \)  ya que  \( -b+(a-b)\omega\equiv -(-1)+(1-(-1))\omega\equiv 1-\omega \) mod \( 3 \) .  Entonces tendremos que  \( 3=\lambda\cdot\gamma^3 \)  ó que  \( \lambda\cdot 3=\gamma^3 \) .  Pero es claro en el primer caso que si  \( -\omega^2\lambda^2=\lambda\gamma^3 \) ,  no puede ser que  \( -\omega^2\lambda=\gamma^3 \)  -y-  en el segundo que si  \( -\omega^2\lambda^3=\gamma^3 \) ,  no puede ser que  \( \omega^2 \)  sea un cubo.   

Luego no nos queda otra que concluir que  \( \dfrac{a+b\omega}{\lambda} \)  es igual á  \( 1,\omega,\omega^2 \) .  Pero como hemos dicho que  \( \dfrac{a+b\omega}{\lambda} \)  es un cubo.  Entonces esta unidad debe ser un cubo también y eso solamente lo cumplen  \( \pm 1 \) .  De manera que no perdemos generalidad si establecemos que  \( \dfrac{a+b\omega}{\lambda}=1 \)  -y-  \( a+b\omega=1-\omega \) .  Por lo que  \( a=1 \) ,  \( b=-1 \)  -y- como  \( a^3+b^3+c^3=0 \) ,  entonces  \( (1)^3+(-1)^3+0=0 \)  -y-  \( abc=0 \) .   

Y este razonamiento también es fácilmente generalizable a otros casos del UTF.       


Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

25 Noviembre, 2022, 08:46 am
Respuesta #1

Fernando Moreno

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Hola,

 
Operamos. En primer lugar tenemos que  \( \lambda\omega=(1-\omega)\omega=\omega-\omega^2=1+2\omega \)  -y- que  \( \lambda\omega^2=(1-\omega)\omega^2=\omega^2-\omega^3=-2-\omega \) .  Luego  \( (2a-b)(1+2\omega)+(a+b)(-2-\omega)=\beta^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( 2a+4a\omega-b-2b\omega-2a-a\omega-2b-b\omega=\beta^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( -3b+(3a-3b)\omega=\beta^3 \)  -y-  \( 3(-b+(a-b)\omega)=\beta^3 \) .  Como  \( 3 \)  -y-  \( -b+(a-b)\omega \)  son coprimos salvo por  \( \lambda \)  ya que  \( -b+(a-b)\omega\equiv -(-1)+(1-(-1))\omega\equiv 1-\omega \) mod \( 3 \) .  Entonces tendremos que  \( 3=\lambda\cdot\gamma^3 \)  ó que  \( \lambda\cdot 3=\gamma^3 \) .  Pero es claro en el primer caso que si  \( -\omega^2\lambda^2=\lambda\gamma^3 \) ,  no puede ser que  \( -\omega^2\lambda=\gamma^3 \)  -y-  en el segundo que si  \( -\omega^2\lambda^3=\gamma^3 \) ,  no puede ser que  \( \omega^2 \)  sea un cubo.   

Tengo ahora dudas sobre lo señalado en rojo. ¿Y si fuera:  \( \lambda\cdot 3=\epsilon\gamma^3 \) ? Entonces  \( \epsilon \)  podría ser igual á  \( \omega^2 \)  en este caso y ya no habría contradicción. No sé ahora qué es lo correcto, si que  \( \lambda\cdot 3 \)  sea igual á  \( \epsilon^3\gamma^3 \) ,  como he creído yo ó que sea igual á  \( \epsilon\gamma^3 \)  para cualquier  \( \epsilon \)  posible. Por si alguien que haya entendido la cuestión quiere opinar..

Un saludo,
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25 Noviembre, 2022, 10:27 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Tengo ahora dudas sobre lo señalado en rojo. ¿Y si fuera:  \( \lambda\cdot 3=\epsilon\gamma^3 \) ? Entonces  \( \epsilon \)  podría ser igual á  \( \omega^2 \)  en este caso y ya no habría contradicción. No sé ahora qué es lo correcto, si que  \( \lambda\cdot 3 \)  sea igual á  \( \epsilon^3\gamma^3 \) ,  como he creído yo ó que sea igual á  \( \epsilon\gamma^3 \)  para cualquier  \( \epsilon \)  posible. Por si alguien que haya entendido la cuestión quiere opinar..

Si. Si tu tienes que \( a,b \) es un cubo, con \( a,b \) coprimos, lo que tienes es que cada uno de ellos es un cubo salvo unidad.

Fíjate en un ejemplo tonto en los enteros:

\( (-9)\cdot (-4)=6^2 \)

Pero \( (-9) \) y \( (-4) \) no son cuadrados, sino haces intervenir el \( (-1) \).

Yo te diría que en estas cosas si el hecho de que aparezca una unidad está en la frontera de que el argumento funcione o no...casi seguro que está mal.

Saludos.

25 Noviembre, 2022, 11:22 am
Respuesta #3

Fernando Moreno

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Hola,

Yo te diría que en estas cosas si el hecho de que aparezca una unidad está en la frontera de que el argumento funcione o no...casi seguro que está mal.

Pienso lo mismo. Además he probado incluyendo ahora la unidad en distintos desarrollos que habría como consecuencia y todos salen correctísimos. La peculiaridad que tienen estos temas de Fermat tan al límite de lo básico es que las cosas cuando están mal no sólo están mal, sino "rematadamente" mal jajaja : ¡No he puesto las unidades en lo que sería al fin y al cabo una factorización! De primero de enteros ciclotómicos jaja

Muchas gracias
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