Autor Tema: El producto de n circulos es difeomorfa al n-toro

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14 Noviembre, 2022, 08:06 pm
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caantamha

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Cordial saludo.

Estoy intentando probar lo siguiente: Sea \(  M=S^1 \times{S^1}\times{...}\times{S^1} \) producto de n circulos, con \( S^1 \subset{\mathbb{R}^2} \). Probar que \( M \cong \mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n \).

Tengo lo siguiente:

Consideremos \( \phi: \mathbb{R}^n \rightarrow{M} \) definida por \( \phi(x_1,...,x_n)=(e^{ix_1},...,e^{ix_n}) \). Con esto tengo que \( \phi \) es un homomorfismo sobrejectivo donde \( Ker(\phi)=2\pi\mathbb{Z}^n \cong \mathbb{Z}^n \) y por el teorema del isomorfismo, existe un isomorfismo de grupos \( \bar{\phi}:\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n\rightarrow{M} \). Por otro lado tengo probado que la projección canónica \( \pi: \mathbb{R}^n \longrightarrow{\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n} \) es un difeomorfismo local.

Finalmente, \( \phi = \bar{\phi} \circ{\pi} \) la cual es bijección.

Sin embargo, no sé por qué se puede concluir que \( \bar{\phi} \) es un difeomorfismo, ya que solo tengo que \( \phi \) es un homomorfismo y \( \pi  \) es un difeomorfismo local.

Se alguien puede ayudarme con esta conclusión agradecería mucho.

14 Noviembre, 2022, 09:46 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Cordial saludo.

Estoy intentando probar lo siguiente: Sea \(  M=S^1 \times{S^1}\times{...}\times{S^1} \) producto de n circulos, con \( S^1 \subset{\mathbb{R}^2} \). Probar que \( M \cong \mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n \).

Tengo lo siguiente:

Consideremos \( \phi: \mathbb{R}^n \rightarrow{M} \) definida por \( \phi(x_1,...,x_n)=(e^{ix_1},...,e^{ix_n}) \).

Pero ahí tienes que \( \phi \) es un difeomorfismo local.

Citar
Con esto tengo que \( \phi \) es un homomorfismo sobrejectivo donde \( Ker(\phi)=2\pi\mathbb{Z}^n \cong \mathbb{Z}^n \) y por el teorema del isomorfismo, existe un isomorfismo de grupos \( \bar{\phi}:\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n\rightarrow{M} \). Por otro lado tengo probado que la projección canónica \( \pi: \mathbb{R}^n \longrightarrow{\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n} \) es un difeomorfismo local.

Finalmente, \( \phi = \bar{\phi} \circ{\pi} \) la cual es bijección.

La que es biyección es \( \bar{\phi} \). Ahora como \( \phi = \bar{\phi} \circ{\pi} \), y \( \pi \) y \( \phi \) son difeomorfimos locales, entonces LOCALMENTE tienen inversas y LOCALMENTE (en un entorno de cada punto) \( \bar{\phi}=\phi\circ \pi^{-1} \), que es difeomorfismo por ser composición de difeomorfismos.

Por tanto \( \bar{\phi} \) es un difeomorfismo local y también biyectiva: entonces es un difeomorfismo global.

Saludos.