He inventado un ejercicio, y necesito vuestra opinión a ver si ven algo raro o equivocado en lo que planteé.
En un espacio métrico \((X,d)\), asumiendo que las bolas cerradas son compactas,
se prueba que \(X\) es completo.
Mi prueba sería que, dada una sucesión de Cauchy \(\{x_n\}\),
sabemos que tiene que ser acotada, por lo tanto contenida en alguna bola cerrada \(B\).
Como \(B\) es compacta, es completa como subespacio,
y entonces \(\{x_n\}\) converge a algún \(p\in B\).
Pero entonces converge al mismo \(p\), respecto \(X \).
Saludos.
