[Danbtwski]

Buenas a todos,

Si tengo la curva \( \gamma(t)\longrightarrow(t,sin(\frac{\pi}{t})) \), con \( t\in[0,1] \).

He probado buscando alguna sucesión que converja a un punto del intervalo. He tomado que \( sin(\frac{\pi}{t})=\pm1 \) de donde obtengo la partición \( t=\frac{2}{1+2k} \) para \( k\geq1 \), pero es divergente

¿Alguna idea?

Gracias y un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Antes de nada revisa el enunciado, porque la aplicación no está definida en \( t=0 \).

Saludos.

[Danbtwski]

En efecto Luis, sería para el intervalo \( 0<t\leq 1 \). Disculpa.

[geómetracat]

En efecto Luis, sería para el intervalo \( 0<t\leq 1 \). Disculpa.

Pero entonces \( \gamma((0,1]) \) no es compacto. Siguiendo la idea que mencionabas en el primer mensaje, puedes encontrar una sucesión en \( \gamma((0,1]) \) que converja al punto \( (0,1) \). Pero como este punto no está en \( \gamma((0,1]) \) no puede haber ninguna subsucesión convergente en \( \gamma((0,1]) \), luego \( \gamma((0,1]) \) no es compacto.

[Danbtwski]

Entiendo. Entonces... si por ejemplo tuviéramos la curva \( \gamma(t)\longrightarrow(t,tsin(\frac{\pi}{t})) \) para el mismo intervalo de t. En ese caso, el conjunto imagen \( \gamma((0,1]) \) si sería compacto??? Nótese que \( h(t)=tsin(\frac{\pi}{t}) \) es uniformemente continua en (0,1).

Un saludo,

[geómetracat]

Entiendo. Entonces... si por ejemplo tuviéramos la curva \( \gamma(t)\longrightarrow(t,tsin(\frac{\pi}{t})) \) para el mismo intervalo de t. En ese caso, el conjunto imagen \( \gamma((0,1]) \) si sería compacto??? Nótese que \( h(t)=tsin(\frac{\pi}{t}) \) es uniformemente continua en (0,1).

No, sigue sin ser compacto por lo mismo: el punto \( (0,0) \) está en la clausura de \( \gamma((0,1]) \) pero no está en \( \gamma((0,1]) \).

Ahora bien lo que sí puedes hacer es definir
\( h(t)=\begin{cases}{0}&\text{si}& t=0\\  t\sin(\pi/t) &\text{si}& 0<t\leq 1\end{cases} \).
Ahora \( h \) es una función continua en \( [0,1] \) y si defines \( \gamma(t)=(t,h(t)) \) para \( t\in [0,1] \) tienes que \( \gamma([0,1]) \) es compacto.