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Matemática => Álgebra => Estructuras algebraicas => Mensaje iniciado por: athairdos en 31 Octubre, 2022, 01:50 am
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Hola, tengo algunas dudas sobre temas relativos a formas bilineales; mayormente se desprenden de la breve exposición del tema en el libro. Dejo algunas dudas a continuación:
Dada una forma bilineal \( \begin{bmatrix}x_{0}&x_{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix} \)
que sería igual a:
\( y_{0}(a_{11}x_{0}+a_{21}x_{1})+y_{1}(a_{12}x_{0}+a_{21}x_{1})+y_{2}(a_{13}x_{0}+a_{23}x_{1}) \)
o a \( x_{0}(a_{11}y_{0}+a_{12}y_{1}+a_{13}y_{1})+x_{1}(a_{21}y_{0}+a_{22}y_{1}+a_{23}y_{2}) \);
esta daría un polinomio cuadrático; en particular, una expresión de 6 términos que sugiere un conjunto de \( mn=2\times{3}=6 \) elementos linealmente independientes y una base para el espacio (o R-módulo, con \( R \) un campo).
Por otro lado, por la vía de la adición y la multiplicación escalar de formas bilineales como la anterior, se tendría un espacio de formas bilineales; digamos\( B(V_{2}, W_{3}) \).
Hasta aquí, se trata de la primera parte en la breve introducción del libro sobre el producto tensorial; es decir, primero presenta las formas bilineales, menciona la relación entre las mismas, las matrices \( m\times{n} \), y las entradas en las mismas como coordenadas de la forma \( B(x_{i}, y_{j}) \) y luego, postula la existencia de un espacio vectorial para las mismas: \( B(V, W) \). A continuación "parece" definir el producto tensorial, a partir del uso del concepto de base en el dual (\( V^{*} \), definido antes en el libro); define producto tensorial \( V\otimes{W} \) como \( B^{*}(V, W) \), e decir como dual del espacio de todas las formas bilineales; aquí es donde vienen las dudas.
1-Son los elementos entre parentesis en cualquiera de las expresiones iniciales para la forma bilineal dada, equivalentes a covectores y, en tal caso, permiten describir los elementos de un producto tensorial en alguna de las formas: \( (v, w^{*}) \) o \( (v^{*}, w) \)?
2-Es el espacio \( B(V_{2}, W_{3}) \) de formas bilineales un R-módulo (para R un campo)? (tal vez a través de un mapeo \( V_{2}\times{W_{3}}\rightarrow{B} \))?
3-La relación entre variables "libres" y variables entre paréntesis señalada en la primer pregunta esta en relación con el isomorfismo \( V\otimes{W}\cong{W\otimes{V}} \)?
4-Es el conjunto \( mn=6 \) de matrices elementales (o vectores) linealmente independiente, una base para el espacio de todas las formas bilineales tales como la forma anteriormente dada, a partir de los espacios vectoriales \( V_{2} \) y \( W_{3} \))?
5-Cuál es la relación, entre \( B(x_{i}, y_{j}) \), es decir, el conjunto de coeficientes en la matrix \( m\times{n} \), por un lado, y los elementos \( v_{i}\otimes{w_{j}} \) de una base de \( V\otimes{W} \) (esta pregunta es muy basica)?
Gracias, un saludo
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Hola
1-Son los elementos entre parentesis en cualquiera de las expresiones iniciales para la forma bilineal dada, equivalentes a covectores y, en tal caso, permiten describir los elementos de un producto tensorial en alguna de las formas: \( (v, w^{*}) \) o \( (v^{*}, w) \)?
Son vectores. Pero llamarle "vector" o "covector" en el fondo es relativo; un covector es un vector de un espacio vectorial dual. Entonces depende un poco del punto de vista.
2-Es el espacio \( B(V_{2}, W_{3}) \) de formas bilineales un R-módulo (para R un campo)? (tal vez a través de un mapeo \( V_{2}\times{W_{3}}\rightarrow{B} \))?
Si, las formas bilineales son un espacio vectorial sobre el cuerpo; hay una operación natural suma y producto por escalar que se comporta como debe.
3-La relación entre variables "libres" y variables entre paréntesis señalada en la primer pregunta esta en relación con el isomorfismo \( V\otimes{W}\cong{W\otimes{V}} \)?
Para mi no tiene sentido la pregunta. Es muy difusa. No se exactamente a que relación te refieres.
4-Es el conjunto \( mn=6 \) de matrices elementales (o vectores) linealmente independiente, una base para el espacio de todas las formas bilineales tales como la forma anteriormente dada, a partir de los espacios vectoriales \( V_{2} \) y \( W_{3} \))?
Si. Una forma bilineal se representa con una matriz \( 2\times 3 \) y una base de tales matrices está formada por seis matrices elementales independientes.
5-Cuál es la relación, entre \( B(x_{i}, y_{j}) \), es decir, el conjunto de coeficientes en la matrix \( m\times{n} \), por un lado, y los elementos \( v_{i}\otimes{w_{j}} \) de una base de \( V\otimes{W} \) (esta pregunta es muy basica)?
Ten en cuenta que a \( v\otimes w \) (que es un elemento del producto tensorial) no le corresponde una forma bilineal sino una aplicación lineal \( \phi:B(V,W)\to \Bbb R \). Esta está definida como \( \phi(f)=f(v,w) \).
Saludos.
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Gracias; si la aplicación lineal se escribiera en la forma \( B( ,w)\rightarrow{\mathbb{R}} \) se tiene, lógicamente, que para cada elemento del primer espacio vectorial corresponde un escalar \( \in{\mathbb{R}} \) (la función es lineal porque la imagen de la suma de elementos del primer espacio vectorial es igual a la suma de las imágenes por separado; es decir; \( B(v_{1}+v_{2}, w)=B(v_{1}, w)+B(v_{2}, w) \).
Entonces, si la notación \( B( ,w) \) ( o \( B( ,w)\rightarrow{\mathbb{R}} \)) para una aplicación lineal fuera equivalente a la notación \( \varphi(f)=f(v, w) \), entonces es correcto decir que a lo elementos \( v\otimes{w} \) del producto tensorial les corresponden aplicaciones lineales (tales como) \( B( ,w)\rightarrow{\mathbb{R}} \)?
Por otro lado, en la notación \( \varphi(f)=f(v, w) \) el carácter lineal de \( \varphi \) sería en la forma \( \varphi(f_{1}+f_{2})=f_{1}(v, w)+f_{2}(v, w) \)?
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Hola
Gracias; si la aplicación lineal se escribiera en la forma \( B( ,w)\rightarrow{\mathbb{R}} \) se tiene, lógicamente, que para cada elemento del primer espacio vectorial corresponde un escalar \( \in{\mathbb{R}} \) (la función es lineal porque la imagen de la suma de elementos del primer espacio vectorial es igual a la suma de las imágenes por separado; es decir; \( B(v_{1}+v_{2}, w)=B(v_{1}, w)+B(v_{2}, w) \).
No te entiendo. ¿Qué aplicación lineal?¿Qué es \( B(\cdot,w) \)?
Entonces, si la notación \( B( ,w) \) ( o \( B( ,w)\rightarrow{\mathbb{R}} \)) para una aplicación lineal fuera equivalente a la notación \( \varphi(f)=f(v, w) \), entonces es correcto decir que a lo elementos \( v\otimes{w} \) del producto tensorial les corresponden aplicaciones lineales (tales como) \( B( ,w)\rightarrow{\mathbb{R}} \)?
Cómo no entiendo lo anterior tampoco entiendo esto.
Por otro lado, en la notación \( \varphi(f)=f(v, w) \) el carácter lineal de \( \varphi \) sería en la forma \( \varphi(f_{1}+f_{2})=f_{1}(v, w)+f_{2}(v, w) \)?
Si.
Saludos.
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Gracias; con la notación \( B( , w)\rightarrow{\mathbb{R}} \) me referia a una aplicación lineal como \( B(v_{i}, w)\rightarrow{\mathbb{R}} \) es decir, tal que para cada \( v_{i} \) (\( v_{i} \) variable) en \( V_{n} \) la aplicación hace corresponder un escalar. (?)
Saludos
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Hola
Gracias; con la notación \( B( , w)\rightarrow{\mathbb{R}} \) me referia a una aplicación lineal como \( B(v_{i}, w)\rightarrow{\mathbb{R}} \) es decir, tal que para cada \( v_{i} \) (\( v_{i} \) variable) en \( V_{n} \) la aplicación hace corresponder un escalar. (?)
¿Entonces sería:
\( B(\cdot,w):V\to \Bbb R \) definida como \( B(\cdot,w)(v)=B(v,w) \) ?
Pero así estar mezclando y liando la notación. Porque \( B(V,W) \) representa el conjunto de aplicaciones bilineales de \( V\times W\to \Bbb R \).
Sin embargo en lo que pones arriba esa \( B \) debería de ser una forma bilineal concreta.
Saludos.
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Es probable que se estén mezclando distintintas notaciones; parte del trasfondo de la pregunta podría ser sobre notación; mi idea sería que dada una forma bilineal especifica \( B \) o, con un subíndice para explicitar la especificidad de la misma, es decir \( B_{x}\in{B} \), a partir de esta forma específica, \( B_{x}(V, W)\rightarrow{\mathbb{R}} \), si se fija un vector de, digamos \( W \), por ej \( w_{0} \), entonces \( B_{x}( . , w_{0})\rightarrow{\mathbb{R}} \) sería una aplicación lineal para \( v_{i}\in{V_{n}} \) variable en \( V_{n} \); es decir, a cada \( v_{i} \) le corresponde un escalar.
La linealidad sería, para esta notación: \( B_{x}(v_{1}+v_{2}, w_{0})=B_{x}(v_{1}, w_{0})+B_{x}(v_{2}, w_{0}) \) (en conjunto con la condición respectiva para los múltiplos escalares de las preimágenes).
Si lo anterior se entendiera (por otro lado, pienso que lo anterior es equivalente a la notación alternativa \( T(f)\rightarrow{\mathbb{R}} \) para aplicaciones lineales (?)), preguntaría cómo es tal notación compatible con la notación \( \varphi(f)=f(v, w) \) (?); la duda sobre esto es que en esta notación es claro que el parámetro variable es \( f \); pero entonces deberia suponerse que en \( (v, w) \) ambos \( v \) y \( w \) están fijos (es decir, especificados)?
Si en \( (v, w) \) ambos \( v \) y \( w \) están fijos (es decir, especificados), entonces comprendo que la notacion \( \varphi(f)=f(v, w) \) podria describir una aplicación lineal en tanto hace variar la matriz (correspondiente a la transformación lineal) que interviene en la expresión usual \( XAY^{t} \), de modo que por esta vía tambien se logrará la expresión de una aplicación lineal, una expresión probablemente mucho más adecuada que las anteriores en particular para el tratamiento de un espacio de formas bilineales; salvo que ahora la linealidad deberia expresarse en términos de (un espacio de) matrices, con lo cual de obtiene: \( \varphi(f_{1}+f_{2})(v, w)=\varphi(f_{2})(v, w)+\varphi(f_{2})(v, w)=f_{1}(v, w)+f_{2}(v, w) \).
Ahora, a partir de lo anterior, interpretaría Ten en cuenta que a v⊗w (que es un elemento del producto tensorial) no le corresponde una forma bilineal sino una aplicación lineal ϕ:B(V,W)→R. Esta está definida como ϕ(f)=f(v,w).
, en el siguiente sentido:
Tomando el caso inicial de \( 2\times{3} \): las 6 \( f_{x} \) de la base (alguna base), aplican un par especifico dado \( (v, w) \) (que yo, no sé si con acierto o no, escribiría con subíndices en la forma\( (v_{i}, w_{j}) \)) sobre 6 escalares distintos , digamos:\( \{a_{ij}\} \) ,.para las 6 combinaciones posibles de los subindices \( i \) y \( j \); cada combinación de los mismos estando en correspondencia con las matrices de la base.
Pero ya en este punto me pierdo un poco: no me queda totalmente claro si, suponiendo dado lo de la especificación de \( v \) y \( w \) (en la forma explícita vía subíndices \( (v_{i}, w_{j}) \) o no (?)), entonces a los elementos \( v\otimes{w} \) les corresponden aplicaciones lineales tales que cada una de estas es un elemento de la base (alguna base?) del espacio \( B(V, W) \), o si les puede corresponder tanto elementos (aplicaciones lineales) de una base como elementos (aplicaciones lineales) que sean combinación lineal de dichos elementos de una base, o ambas posibilidades (no me queda claro "en qué lugar" se separan estas "posibilidades", sea en la notacion o en el concepto, etc.)
Y por otro lado, no me queda claro el concepto de correspondencia del párrafo anterior: si por un lado se está "operando" en el contexto de un espacio (o módulo) de formas bilineales y, por otro, se tienen elementos de un producto tensorial (tensores?), no me termina de quedar claro cómo es que lo que ocurre en un contexto se traduce en lo que ocurre en el otro (por ej. si se trata de un isomorfismo; o de una acción, o ninguna de estas...); si, por ejemplo, tomo la definición del libro de Producto tensorial \( V\otimes{W} \) como dual del espacio de formas bilineales, es decir, \( B^{*}(V, W) \), la situación no se aclara, sino tal vez lo contrario; no sabría si ello implica \( B^{*}(V, W)=V\otimes{W} \),
\( B^{*}(V, W)\cong{V\otimes{W}} \), o por ejemplo \( B^{*}(V, W)\rightarrow{V\otimes{W}} \); entre otras posibilidades; si el espacio de formas bilineales es un módulo, ello implicaría que la correspondencia en cuestión se trata de una correspondencia entre módulos (lo que implicaría que el producto tensorial=dual \( B^{*} \) es un módulo), o por ejemplo, la correspondencia se da entre el modulo \( B \) y una parte del producto tensorial, cuya estructura (de la parte) es un módulo (?), siendo el producto tensorial mas amplio que dicho módulo (?).
Gracias
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Hola
Es probable que se estén mezclando distintintas notaciones; parte del trasfondo de la pregunta podría ser sobre notación; mi idea sería que dada una forma bilineal especifica \( B \) o, con un subíndice para explicitar la especificidad de la misma, es decir \( B_{x}\in{B} \), a partir de esta forma específica, \( B_{x}(V, W)\rightarrow{\mathbb{R}} \), si se fija un vector de, digamos \( W \), por ej \( w_{0} \), entonces \( B_{x}( . , w_{0})\rightarrow{\mathbb{R}} \) sería una aplicación lineal para \( v_{i}\in{V_{n}} \) variable en \( V_{n} \); es decir, a cada \( v_{i} \) le corresponde un escalar.
La linealidad sería, para esta notación: \( B_{x}(v_{1}+v_{2}, w_{0})=B_{x}(v_{1}, w_{0})+B_{x}(v_{2}, w_{0}) \) (en conjunto con la condición respectiva para los múltiplos escalares de las preimágenes).
Si lo anterior se entendiera (por otro lado, pienso que lo anterior es equivalente a la notación alternativa \( T(f)\rightarrow{\mathbb{R}} \) para aplicaciones lineales (?)), preguntaría cómo es tal notación compatible con la notación \( \varphi(f)=f(v, w) \) (?); la duda sobre esto es que en esta notación es claro que el parámetro variable es \( f \); pero entonces deberia suponerse que en \( (v, w) \) ambos \( v \) y \( w \) están fijos (es decir, especificados)?
Creo que sigues mezclando. Cosas no estoy seguro de que quieres decir cuando escribes \( T(f)\rightarrow{\mathbb{R}} \). ¿Qué es ese \( T(f) \)?
Por centrarnos:
\( B(V,W) \) es el conjunto de aplicaciones bilineales de \( V\times W \) en \( \Bbb R. \)
Entonces NO le llames \( B \) a una aplicación bilineal; lo único que vas a hacer es confundir las cosas.
Si en \( (v, w) \) ambos \( v \) y \( w \) están fijos (es decir, especificados), entonces comprendo que la notacion \( \varphi(f)=f(v, w) \) podria describir una aplicación lineal en tanto hace variar la matriz (correspondiente a la transformación lineal) que interviene en la expresión usual \( XAY^{t} \), de modo que por esta vía tambien se logrará la expresión de una aplicación lineal, una expresión probablemente mucho más adecuada que las anteriores en particular para el tratamiento de un espacio de formas bilineales; salvo que ahora la linealidad deberia expresarse en términos de (un espacio de) matrices, con lo cual de obtiene: \( \varphi(f_{1}+f_{2})(v, w)=\varphi(f_{2})(v, w)+\varphi(f_{2})(v, w)=f_{1}(v, w)+f_{2}(v, w) \).
Si. Fijadas bases de \( V \) y \( W \) una aplicación lineal de \( B(V,W)\to \Bbb R \) se puede interpretar como una aplicación del espacio de matrices \( M_{dim(V)\times dim(W)} \) en \( \Bbb R \).
Tomando el caso inicial de \( 2\times{3} \): las 6 \( f_{x} \) de la base (alguna base), aplican un par especifico dado \( (v, w) \) (que yo, no sé si con acierto o no, escribiría con subíndices en la forma\( (v_{i}, w_{j}) \)) sobre 6 escalares distintos , digamos:\( \{a_{ij}\} \) ,.para las 6 combinaciones posibles de los subindices \( i \) y \( j \); cada combinación de los mismos estando en correspondencia con las matrices de la base.
Si \( dim(V)=2 \) y \( dim(W)=3 \) cada aplicación lineal de \( B(V,W)\to \Bbb R \) puede interpretarse como una aplicación lineal que lleva una matriz \( 2\times 3 \), en un número. Pero ahí después mezclas cosas; una cosa es variar las matrices de la base y otra variar los vectores \( v,w \).
Es decir. Fijados \( u,v \) tenemos una aplicación lineal que transforma cualquier matriz en un número: \( f(A)=u^tAv \). Ahí puedes evaluarla sobre una base del espacio de matrices y te dará seis coeficientes que serían las coordenadas de esa aplicación lineal respecto a esa base.
Por otra parte si cambias \( u,v \) cambias de aplicación lineal.
Pero ya en este punto me pierdo un poco: no me queda totalmente claro si, suponiendo dado lo de la especificación de \( v \) y \( w \) (en la forma explícita vía subíndices \( (v_{i}, w_{j}) \) o no (?)), entonces a los elementos \( v\otimes{w} \) les corresponden aplicaciones lineales tales que cada una de estas es un elemento de la base (alguna base?) del espacio \( B(V, W) \), o si les puede corresponder tanto elementos (aplicaciones lineales) de una base como elementos (aplicaciones lineales) que sean combinación lineal de dichos elementos de una base, o ambas posibilidades (no me queda claro "en qué lugar" se separan estas "posibilidades", sea en la notacion o en el concepto, etc.)
Me cuesta entenderte: o que marco en rojo depende de en que base trabajes. Es decir cualquier vector (no nulo) puede ser parte de una base.
Y por otro lado, no me queda claro el concepto de correspondencia del párrafo anterior: si por un lado se está "operando" en el contexto de un espacio (o módulo) de formas bilineales y, por otro, se tienen elementos de un producto tensorial (tensores?), no me termina de quedar claro cómo es que lo que ocurre en un contexto se traduce en lo que ocurre en el otro (por ej. si se trata de un isomorfismo; o de una acción, o ninguna de estas...); si, por ejemplo, tomo la definición del libro de Producto tensorial \( V\otimes{W} \) como dual del espacio de formas bilineales, es decir, \( B^{*}(V, W) \), la situación no se aclara, sino tal vez lo contrario; no sabría si ello implica \( B^{*}(V, W)=V\otimes{W} \),
¡Claro! Te están definiendo \( V\otimes{W} \) como \( B(V,W)^* \).
\( B^{*}(V, W)\cong{V\otimes{W}} \), o por ejemplo \( B^{*}(V, W)\rightarrow{V\otimes{W}} \); entre otras posibilidades;
El poner "igual" o "isomorfo" es un poco sutil, y en realidad intrascendente. Si te definen así el producto tensor, como el dual de unas forma bilineales, pues es igual; si te lo definen de otra forma (como un espacio vectorial cumpliendo una cierta propiedad universal) pues es un "isomorfo"; pero de hecho con esta última caracterización lo que se prueba es que la definición determina de manera inequívoca un espacio vectorial salvo isomorfismo.
Saludos.
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Gracias; he llegado al siguiente esquema elemental; si se tienen dos espacios \( V_{2} \) y \( W_{3} \), se pueden considerar 6 pares ordenados, cada uno de ellos dado por un elemento del primer espacio y el segundo elemento perteneciente al segundo espacio; algo asi como \( {\ (v_{1}, w_{1}), (v_{1}, w_{2}), (v_{1}, w_{3}), (v_{2}, w_{1}), (v_{2}, w_{2}), (v_{2}, w_{3}) /} \); luego, si se toma en consideracion el conjunto de 6 matrices linealmente independientes, digamos \( M_{2\times{3}} \), se puede obtener, por cada par de los pares anteriores, una aplicacion lineal, digamos \( \varphi(f)=f(v_{1}, w_{1}) \), con \( f\in{M_{2\times{3}}} \): el conjunto de 6 matrices \( f´s \) dara 6 conjuntos de 6 escalares por par, analogos o isomorfos a 6 vectores de 6 componentes; los pares ordenados iniciales pertenecen a \( V\times{W} \); el espacio obtenido es un espacio de dimension \( m\times{n}=2\times{3}=6 \).
Cada forma bilineal, correspondiente a alguna \( f\in{M_{2\times{3}}} \), genera una aplicacion lineal cuando toma valores en el dominio de pares ordenados \( V\times{W} \). Puesto que hay 6 pares ordenados y 6 matrices linealmente independientes, se trata de un espacio de \( dim=6 \).
En este contexto, se puede establecer \( B(V, W)\cong{M_{2\times{3}}} \), para el espacio o modulo de formas bilineales correspondiente?
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Hola
Gracias; he llegado al siguiente esquema elemental; si se tienen dos espacios \( V_{2} \) y \( W_{3} \), se pueden considerar 6 pares ordenados, cada uno de ellos dado por un elemento del primer espacio y el segundo elemento perteneciente al segundo espacio; algo asi como \( {\ (v_{1}, w_{1}), (v_{1}, w_{2}), (v_{1}, w_{3}), (v_{2}, w_{1}), (v_{2}, w_{2}), (v_{2}, w_{3}) /} \); luego, si se toma en consideracion el conjunto de 6 matrices linealmente independientes, digamos \( M_{2\times{3}} \), se puede obtener, por cada par de los pares anteriores, una aplicacion lineal, digamos \( \varphi(f)=f(v_{1}, w_{1}) \), con \( f\in{M_{2\times{3}}} \): el conjunto de 6 matrices \( f´s \) dara 6 conjuntos de 6 escalares por par, analogos o isomorfos a 6 vectores de 6 componentes; los pares ordenados iniciales pertenecen a \( V\times{W} \); el espacio obtenido es un espacio de dimension \( m\times{n}=2\times{3}=6 \).
Mmmm si, lo que dices es correcto.
Cada forma bilineal, correspondiente a alguna \( f\in{M_{2\times{3}}} \), genera una aplicacion lineal cuando toma valores en el dominio de pares ordenados \( V\times{W} \). Puesto que hay 6 pares ordenados y 6 matrices linealmente independientes, se trata de un espacio de \( dim=6 \).
Esto no. Cada forma bilineal NO genera una aplicación una aplicacion lineal cuando toma valores en el dominio de pares ordenados \( V\times{W} \). La aplicación bilineal ya de por si toma valores en \( V\times{W} \), pero no es linea, es BIlineal.
Es al revés, cada par de \( V\times{W} \) genera un aplicación lineal del conjunto de formas bilineales en \( \Bbb R \).
En este contexto, se puede establecer \( B(V, W)\cong{M_{2\times{3}}} \), para el espacio o modulo de formas bilineales correspondiente?
Si. Eso si. El conjunto de formas bilineales, fijadas bases de \( V \) y \( W \) se identifica con su conjunto de matrices asociadas respecto a esas bases.
Saludos.
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Gracias; para tratar de aclarar algo de la notacion, he podido conseguir otra referencia distinta; hasta aqui, trata sobre matrices cuadradas como tensores de segundo orden segun la siguiente regla; dados dos vectores \( (u_{1}, u_{2}, u_{3}) \) y \( (v_{2}, v_{2}, v_{3} \)), espresa el tensor en cuestion como:
\( \begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix} \); luego explica la notacion ulterior en terminos de \( t_{ij} \); etc.
Una de las dudas es la siguiente: cada entrada en el tensor consta de 9 sumandos (en total habria 81 sumandos en el tensor); luego, la duda la podria experesar del siguiente modo; cual seria la relacion entre las entradas del tensor, ya sea tomadas individualmente o en su conjunto (todo el tensor), por un lado, y el simbolo \( u\otimes{v} \)? comprende este simbolo a todas las entradas del tensor?
El libro denomina a la matrizz en cuestion, por un lado "producto tensorial", y casi seguido, tambien "tensor" (en particular, de segundo orden); por otro lado, el simbolo que usa para ella es \( (u_{i}v_{j}) \) (en ningun momento se usa el simbolo \( u\otimes{v} \) ni \( U\otimes{V} \); respecto de este ultimo, atendiendo al hecho de que se llama regularmente "producto tensorial", entiendo que seria equivalente al simbolo \( (u_{i}v_{j}) \) en terminos de la notacion del libro; luego, me imagino que el simbolo \( u\otimes{v} \) podria representar a las entradas individualmente (algo asi como un \( u_{i}\otimes{v_{j}} \) por cada entrada (?).
El hecho de que cada entrada implique 9 sumandos esta en concordancia con que la dimension del espacio vectorial asociado sea \( 3\times{3}=9 \) de modo tal que el conjunto de todas las entradas podria representar una base en algun sistema de coordenadas (esto de deduce en parte del desarrollo del libro). En todo caso, la duda es la del parrafo anterior, acerca de la relacion con el simbolo \( u\otimes{v} \) principalmente y, de paso, con el simbolo \( U\otimes{V} \)(?).
Gracias, saludos.
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Esto del producto tensorial de espacios vectoriales es mucho más sencillo de lo que parece, pero como te pongas a mirar de varias fuentes que encima usan notaciones y convenios distintos, tienes todas las papeletas para hacerte un lío. En particular, en tu último mensaje la notación que usan es más bien la notación física, que evita la mención explícita de bases a cambio de ir poniendo subíndices en todas partes.
Primero, qué es el producto tensorial de dos espacios vectoriales \( V, W \). El producto tensorial es otro espacio vectorial, \( V \otimes W \), equipado con una aplicación bilineal \( \phi : V \times W \to V \otimes W \), que cumple una cierta propiedad universal: dado otro espacio vectorial cualquiera \( U \) y una aplicación bilineal cualquiera \( h:V \times W \to U \) existe una única aplicación lineal \( \tilde{h}:V \otimes W \to U \) que cumple que \( h = \tilde{h} \circ \phi \).
Esto puede parecer un galimatías, pero es la manera correcta de entender el producto tensorial, y todas sus propiedades salen de ahí. La intuición que hay detrás de esta definición es que el producto tensorial te permite cambiar una aplicación bilineal con dominio \( V \times W \) en una aplicación lineal con dominio un espacio vectorial (el producto tensorial \( V \otimes W \)). De manera que lo que hace el producto tensorial es reducir el álgebra multilineal al álgebra lineal de toda la vida.
Dicho esto, ¿cómo puede entender uno el producto tensorial en términos concretos? La clave está en la aplicación bilineal \( \phi: V \times W \to V \otimes W \), que forma parte de la definición de producto tensorial. La notación para la imagen de un par de vectores por esta aplicación es: \( \phi(v,w) =: v \otimes w \), y al vector \( v \otimes w \in V \otimes W \) se le llama "producto tensorial de \( v \) y \( w \)". Fíjate que estamos usando el símbolo \( \otimes \) para dos cosas muy distintas. Por un lado lo usamos para el producto tensorial de espacios vectoriales, que nos da otro espacio vectorial, y por otro lado lo usamos para el producto tensorial de dos vectores, que nos da un vector de \( V \otimes W \).
Ahora hay que tener en cuenta dos cosas. La primera, es que en general \( \phi \) no es exhaustiva, pero sí que su imagen genera \( V \otimes W \). Esto quiere decir que un vector de \( V \otimes W \) no se puede expresar en general como producto tensorial de dos vectores, \( v \otimes w \), pero siempre se puede expresar como combinación lineal de estos vectores. Es decir, un vector de \( V \otimes W \) siempre es de la forma \( \lambda_1 v_1 \otimes w_1 + \lambda_2 v_2 \otimes w_2 + \dots + \lambda_n v_n \otimes w_n \), con \( v_1, \dots, v_n \in V, w_1, \dots, w_n \in W \) y los \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) escalares.
La segunda cosa a tener en cuenta es que \( \phi \) es una aplicación bilineal, lo que en términos del producto escalar de vectores se traduce en lo siguiente:
\( (v_1+v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w \)
\( (\lambda v) \otimes w = \lambda (v \otimes w) \)
\( v \otimes (w_1 + w_2) = v \otimes w_1 + v \otimes w_2 \)
\( v \otimes (\lambda w) = \lambda (v \otimes w) \)
Y de hecho estas propiedades son las únicas que debes conocer del producto tensorial de dos vectores. Todo sale de ahí.
Ahora vamos a aprovechar estas dos observaciones para llegar a una descripción muy explícita de \( V \otimes W \). Fija una base \( e_1, \dots, e_n \) de \( V \) y una base \( u_1, \dots, u_m \) de \( W \). Si tenemos un vector de la forma \( v \otimes w \), siempre podemos expresar \( v = \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n \) y \( w = \mu_1 u_1 + \dots + \mu_m u_m \), por lo tanto, \( v \otimes w = (\lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n) \otimes (\mu_1 u_1 + \dots + \mu_m u_m) = \lambda_1 \mu_1 (e_1 \otimes u_1) + \lambda_1 \mu_2 (e_1 \otimes u_2) + \dots + \lambda_n\mu_m (e_n \otimes \mu_m) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \lambda_i\mu_j (e_i \otimes u_j) \).
La consecuencia de este cálculo es que cualquier vector \( v \otimes w \) es combinación lineal de los productos tensoriales de vectores de las bases, \( e_i \otimes u_j \). Por la otra observación, cualquier elemento de \( V \otimes W \) es combinación lineal de vectores de la forma \( v \otimes w \). Por lo tanto, llegamos a que cualquier vector de \( V \otimes W \) se expresa como combinación lineal de los vectores \( e_i \otimes u_j \). Se puede demostrar además que estos \( e_i \otimes u_j \) son linealmente independientes, por lo que forman una base de \( V \otimes W \), y por tanto, \( dim(V \otimes W)=(dim V)(dim W) \).
Así pues, la descripción de \( V \otimes W \) es tan sencilla como esto. Tomas bases de \( V \) y de \( W \), formas todos los productos tensoriales de los elementos de esas dos bases, y eso te da una base de \( V \otimes W \). Y en términos de estas bases, el producto tensorial de dos vectores se expresa como dijimos antes: \( v \otimes w = (\lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n) \otimes (\mu_1 u_1 + \dots + \mu_m u_m) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \lambda_i\mu_j (e_i \otimes u_j) \).
Si entiendes esto, todo lo demás ya sale solo. Por ejemplo, cuando en tu último mensaje dices:
hasta aqui, trata sobre matrices cuadradas como tensores de segundo orden segun la siguiente regla; dados dos vectores \( (u_{1}, u_{2}, u_{3}) \) y \( (v_{2}, v_{2}, v_{3} \)), espresa el tensor en cuestion como:
\( \begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\end{bmatrix} \); luego explica la notacion ulterior en terminos de \( t_{ij} \); etc.
Lo que está haciendo aquí es trabajar en \( \Bbb R^3 \) con la base canónica \( e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) \), de manera que un vector de \( \Bbb R^3 \) cualquiera es \( (u_1,u_2,u_3)=u_1e_1+u_2e_2+u_3e_3 \). Entonces, el producto tensorial de dos vectores de \( \Bbb R^3 \) (que vive en \( \Bbb R^3 \otimes \Bbb R^3 \)) es \(
\begin{align*}
(u_1, u_2, u_3) \otimes (v_1, v_2, v_3) &= (u_1e_1+u_2e_2+u_3e_3) \otimes (v_1e_1+v_2e_2+v_3e_3) = \\
&= u_1v_1 e_1 \otimes e_1 + u_1v_2 e_1 \otimes e_2 + u_1v_3 e_1 \otimes e_3 + u_2v_1 e_2 \otimes e_1 + u_2v_2 e_2 \otimes e_2 + u_2v_3 e_2 \otimes e_3 + u_3v_1 e_3 \otimes e_1 + u_3v_2 e_3 \otimes e_2 + u_3 v_3 e_3 \otimes e_3
\end{align*}
\).
Y lo que hace el libro este es identificar esto con una matriz \( 3 \times 3 \) donde en la fila \( i \) y la columna \( j \) aparece el coeficiente que acompaña a \( e_i \otimes e_j \), es decir, \( u_iv_j \).
Esto es muy habitual en física, donde normalmente siempre se trabaja en coordenadas (es decir, hay unas bases fijadas), y entonces puedes omitir las bases y trabajar exclusivamente con las componentes. Por eso ahí no te vas a encontrar los \( e_i \otimes e_j \), sino que estos quedan siempre implícitos.
Espero que este mensaje te haya aclarado algo. Si algo no queda claro vuelve a preguntar.
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Hola; muchas gracias por toda la ayuda y la gran paciencia; no he podido responder antes, en parte debido a mi falta de entendimiento sobre el tema; he encontrado en el interin una explicación alternativa, tal que parece incorporar algunos elementos generales que valdría conocer independientemente; y que apuntan al tema en cuestión.
La explicación se centra en la correspondencia bilineal \( U^{*}\times{V}\rightarrow{Hom(U, V)} \) dada por \( (\varphi, v)(u)\rightarrow{\varphi(u)v} \), siendo \( \varphi \) un elemento del Dual \( U^{*} \),
Tengo algunas dudas sobre la interpretación de esa correspondencia bilineal, que trato de explicar aquí:
El contexto sería: \( U^{*}=(\mathbb{R^{2}})^{*} \) y \( V=\mathbb{R^{3}} \).
La cuestión sería acerca del rango y la nulidad en las aplicaciones (lineales) que surgen de la correspondencia bilineal \( (\varphi, v)(u)\rightarrow{\varphi(u)v} \), al fijar \( \varphi=\varphi_{0} \) y \( v=v_{0} \), respectivamente.
En el primer caso, se tendría la aplicación \( (\varphi_{0}, v):u\rightarrow{\varphi_{0}(u)v} \).
Aquí aparecen mis dudas; en relación al rango y la nulidad de esa aplicación, según el análisis que describo a continuación, llego a que el rango sería \( \leq{2} \) y la nulidad seria \( \geq{1} \); más allá de la respuesta en sí (y de si es correcta o no) el análisis por medio del cual llego a la misma involucra los conceptos de base de \( U \) y del dual \( U^{*} \) que serían de utilidad ya sea en este contexto o en otros.
Mi razonamiento es como sigue:
1-Por un lado \( dim(U)=dim(U^{*})=2 \)
2-Para elegir una funcional específica \( \varphi=\varphi_{0} \) se debe tener en cuenta que:
Dadas las bases \( \beta_{1}, \beta_{2} \) para \( U \) y \( f_{1}, f_{2} \) para \( U^{*} \), se tiene que la funcional elegida \( \varphi_{0} \) puede ser de 2 clases:
a) Puede ser un elemento de la base de \( U^{*} \) (o múltiplo escalar: digamos \( \varphi_{0}=c_{i}f_{1} \)), en cuyo caso, debido a la relación \( \beta_{i}f_{j}=1 \) o \( \beta_{i}f_{j}=0 \) según si \( i=j \) o \( i\neq{j} \), se podría tener que la imagen resultante sería de la forma \( \begin{bmatrix}c_{1}&0\end{bmatrix} \).
b) Puede ser un elemento de \( U^{*} \) dado por alguna combinación lineal de los elementos de su base; en este caso, la imagen resultante sería de la forma \( \begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}\end{bmatrix} \), con \( c_{1}\neq{0} \) y \( c_{2}\neq{0} \).
3-Segun mi razonamiento, según si la funcional \( \varphi_{0} \) elegida sea de la clase a) o de la clase b), en forma respectiva sera el rango (y la nulidad) de la aplicación \( (\varphi_{0}, v):u\rightarrow{\varphi_{0}(u)v} \).
Es el punto 2 anterior, correcto?
Idem 3 (?)
Tengo otras dudas, en particular sobre la "implementación" concreta de aplicación en cuestión; me pregunto si se podría escribir, por ejemplo, lo siguiente:
Para un caso como el 2-b) anterior: \( \begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+c_{2}a_{21}&c_{1}a_{12}+c_{2}a_{22}&c_{1}a_{13}+c_{2}a_{23}\end{bmatrix} \in{S} \), con \( S\in{\mathbb{R^{3}}} \) y \( dim(S)=2 \); esto justificaría un rango en cuestión=2 y nulidad=1.
En el caso como el 2-a), se tendría un producto \( \begin{bmatrix}c_{1}&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix} \) que implicaría, un rango=1 y nulidad=2.
El rango y la nulidad en la aplicación lineal anterior, serian lógicamente, en el contexto de la correspondencia lineal \( \mathbb{R^{2}}\rightarrow{\mathbb{R^{3}}} \).
Mi duda en este respecto (la adecuación de la expresión matricial anterior, etc.) se origina en que en la imagen (\( \rightarrow{\varphi_{0}(u)v} \)) de la notación para la aplicación lineal, se tiene al elemento \( v\in{\mathbb{R^{3}}} \); esto es compatible con el elemento final obtenido en el 1er producto matricial precedente, por ej.; y todo esto coincide con que la aplicación total es de la forma \( \mathbb{R^{2}}\rightarrow{\mathbb{R^{3}}} \). Sin embargo, la notación "parece" sugerir un producto de un escalar y un vector; de manera que no me queda totalmente claro si el uso simultáneo de dos productos tales, implicito en el producto del tipo "vector fila x matriz 2x3", es correcto.
En resumen, mis dudas son acerca de la interpretación/implementación de la corresponencia dada \( (\varphi_{0}, v):u\rightarrow{\varphi_{0}(u)v} \) en tanto implica la interacción de las bases de \( V \) y \( V^{*} \), por un lado; y por otro, sobre como debe ser la composición de dicha interacción, con elementos \( v\in{V} \) (\( U\neq{V} \), etc.).
Saludos
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Hola
En el primer caso, se tendría la aplicación \( (\varphi_{0}, v):u\rightarrow{\varphi_{0}(u)v} \).
Si. No pierdas de vista que eso es una aplicación lineal: \( V\to Hom(U,V) \)
Aquí aparecen mis dudas; en relación al rango y la nulidad de esa aplicación, según el análisis que describo a continuación, llego a que el rango sería \( \leq{2} \) y la nulidad seria \( \geq{1} \); más allá de la respuesta en sí (y de si es correcta o no) el análisis por medio del cual llego a la misma involucra los conceptos de base de \( U \) y del dual \( U^{*} \) que serían de utilidad ya sea en este contexto o en otros.
Mi razonamiento es como sigue:
1-Por un lado \( dim(U)=dim(U^{*})=2 \)
Bien.
2-Para elegir una funcional específica \( \varphi=\varphi_{0} \) se debe tener en cuenta que:
Dadas las bases \( \beta_{1}, \beta_{2} \) para \( U \) y \( f_{1}, f_{2} \) para \( U^{*} \), se tiene que la funcional elegida \( \varphi_{0} \) puede ser de 2 clases:
a) Puede ser un elemento de la base de \( U^{*} \) (o múltiplo escalar: digamos \( \varphi_{0}=c_{i}f_{1} \)), en cuyo caso, debido a la relación \( \beta_{i}f_{j}=1 \) o \( \beta_{i}f_{j}=0 \) según si \( i=j \) o \( i\neq{j} \), se podría tener que la imagen resultante sería de la forma \( \begin{bmatrix}c_{1}&0\end{bmatrix} \).
b) Puede ser un elemento de \( U^{*} \) dado por alguna combinación lineal de los elementos de su base; en este caso, la imagen resultante sería de la forma \( \begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}\end{bmatrix} \), con \( c_{1}\neq{0} \) y \( c_{2}\neq{0} \).
Esa distinción es innesaria y artificial. Al fin y al cabo sus coordenadas dependen de la base que se seleccione. No tiene trascendencia ninguna.
3-Segun mi razonamiento, según si la funcional \( \varphi_{0} \) elegida sea de la clase a) o de la clase b), en forma respectiva sera el rango (y la nulidad) de la aplicación \( (\varphi_{0}, v):u\rightarrow{\varphi_{0}(u)v} \).
Es el punto 2 anterior, correcto?
Idem 3 (?)
No. No tiene nada que ver. Sólo importa si \( \varphi_0 \)es la función nula o no.
El núcleo de la aplicación: \( h:V\to Hom(U,V) \) definida como:
\( h(v)(u)=\varphi_0(u)\cdot v \)
Estará formado por aquellos vectores \( v\in V \) cuya imagen \( h(v)\in H(u,v) \) es el homomorfismo nulo, es decir,:
\( \varphi_0(u)v=0 \) para dodo \( u\in U \).
- Si \( \varphi_0 \) NO es el covector nulo, entonces existe un \( u\in U \) tal que \( \varphi_0(u)\neq 0 \) y por tanto \( \varphi_0(u)v=0 \) si y sólo si \( v=0 \). Es decir en ese caso el núcleo \( ker(h)=\{0\} \) (o la nulidad como le llamas tu). En ese caso además el rango tiene dimensión \( dim(V) \).
- Si \( \varphi_0 \) el covector nulo, entonces obviamente \( \varphi_0(u)v=0 \) para dodo \( u\in U \) y para todo \( v\in V \) y por tanto el núcleo \( ker(h)=V \) (o la nulidad como le llamas tu). En ese caso el rango es cero.
Tengo otras dudas, en particular sobre la "implementación" concreta de aplicación en cuestión; me pregunto si se podría escribir, por ejemplo, lo siguiente:
Para un caso como el 2-b) anterior: \( \begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+c_{2}a_{21}&c_{1}a_{12}+c_{2}a_{22}&c_{1}a_{13}+c_{2}a_{23}\end{bmatrix} \in{S} \), con \( S\in{\mathbb{R^{3}}} \) y \( dim(S)=2 \); esto justificaría un rango en cuestión=2 y nulidad=1.
En el caso como el 2-a), se tendría un producto \( \begin{bmatrix}c_{1}&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix} \) que implicaría, un rango=1 y nulidad=2.
El rango y la nulidad en la aplicación lineal anterior, serian lógicamente, en el contexto de la correspondencia lineal \( \mathbb{R^{2}}\rightarrow{\mathbb{R^{3}}} \).
Mi duda en este respecto (la adecuación de la expresión matricial anterior, etc.) se origina en que en la imagen (\( \rightarrow{\varphi_{0}(u)v} \)) de la notación para la aplicación lineal, se tiene al elemento \( v\in{\mathbb{R^{3}}} \); esto es compatible con el elemento final obtenido en el 1er producto matricial precedente, por ej.; y todo esto coincide con que la aplicación total es de la forma \( \mathbb{R^{2}}\rightarrow{\mathbb{R^{3}}} \). Sin embargo, la notación "parece" sugerir un producto de un escalar y un vector; de manera que no me queda totalmente claro si el uso simultáneo de dos productos tales, implicito en el producto del tipo "vector fila x matriz 2x3", es correcto.
Si \( U=\Bbb R^2 \) y \( V=\Bbb R^3 \) un elemento \( \varphi_0\in U^* \) es una aplicación lineal \( \varphi_0(x,y)=c_1x+c_2y \).
Ahora la aplicación \( h:\Bbb R^3\to Hom(\Bbb R^2,\Bbb R^3) \) sería:
\( h(p,q,r)(x,y)=\varphi_0(x,y)\cdot (p,q,r)=(c_1x+c_2y)(p,q,r) \)
Si quieres identificar las aplicaciones de \( Hom(\Bbb R^2,\Bbb R^3) \) con su matriz asociada respecto a las bases canónicas sería:
\( h(p,q,r)=\begin{pmatrix}{c_1p}&{c_2p}\\{c_1q}&{c_2q}\\{c_1r}&{c_2r}\\\end{pmatrix} \)
o también puedes escribirlo así:
\( h(p,q,r)=\begin{pmatrix}{p}\\{q}\\{r}\\\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{c_1}&{c_2}\end{pmatrix} \)
Saludos.
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Gracias; la explicación deja en claro varias cuestiones; aún me queda la duda de si esta definición lleva implícita la noción de "acción"; si fuera así, buena.parte de mis dudas se resolverían; hago esta pregunta porque, por ejemplo en la última expresión queda claro que la operación entre el elemento columna \( (p\, q\, r)^{t} \) de \( \mathbb{R^{3}} \) y el elemento \( (c_{1}\, c_{2}) \) de \( (\mathbb{R^{2}})^{*} \) no es "algebraica" ( ó "interna").
Por lo.pronto, me limito a preguntar algo que se desprende de la definición de \( V\rightarrow{Hom(U, V)} \) como aplicación lineal: las imágenes de los elementos \( (1\,0\, 0)^{t} \), \( (0\, 1\,0)^{t} \) y \( (0\,0\,1)^{t} \) serían las traspuestas de:
\( \begin{bmatrix}c_{2}&0&0\\c_{1}&0&0\end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix}0&c_{2}&0\\0&c_{1}&0\end{bmatrix} \) y
\( \begin{bmatrix}0&0&c_{2}\\0&0&c_{1}\end{bmatrix} \)
(?).
Gracias
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Hola
Por lo.pronto, me limito a preguntar algo que se desprende de la definición de \( V\rightarrow{Hom(U, V)} \) como aplicación lineal: las imágenes de los elementos \( (1\,0\, 0)^{t} \), \( (0\, 1\,0)^{t} \) y \( (0\,0\,1)^{t} \) serían las traspuestas de:
\( \begin{bmatrix}c_{2}&0&0\\c_{1}&0&0\end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix}0&c_{2}&0\\0&c_{1}&0\end{bmatrix} \) y
\( \begin{bmatrix}0&0&c_{2}\\0&0&c_{1}\end{bmatrix} \)
Si.
Saludos.
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ok, gracias!