[Julio_fmat]

Calcule el grupo de Galois de la extension \( \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \varepsilon) \) en donde \( \varepsilon=e^{2\pi i/3} \).

Hola, la solucion es \( \text{Gal}(K/k)=\left<{\sigma, \tau}\right>\cong S_3 \), pero mis dudas son... En que momento \( \varepsilon \) es raiz de \( x^2+x+1=0 \)?

[geómetracat]

Una manera sencilla es ver que \( x^3 -1 = (x-1)(x^2+x+1) \). Como \( \epsilon \) es raíz cúbica de la unidad, es raíz de \( x^3-1 \). Pero como \( \epsilon \neq 1 \), debe ser raíz de \( x^2+x+1 \).