[juan luis]

Buenos días.

Me gustaría que me ayudaran a encontrar la demostración siguiente:

       \( A=2x^2+2xy+4x+3y \)

Demostrar que para todo valor entero y positivo se cumple que:

        \( 2B+3 = \textrm{primo} \)    para todo \( B\neq{A} \)

Muchas gracias
Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días.

Me gustaría que me ayudaran a encontrar la demostración siguiente:

       \( A=2x^2+2xy+4x+3y \)

Demostrar que para todo valor entero y positivo se cumple que:

        \( 2B+3 = \textrm{primo} \)    para todo \( B\neq{A} \)

Muchas gracias
Un saludo

No se entiende muy bien lo que planteas, pero hago una interpretación.

\( A \) es un valor que depende de de \( x \) y de \( y \). Por tanto supongo que en realidad no es un valor fijo. Supongo (pero deberías de aclararlo) que \( x \) e \( y \) son enteros.

Intuyo que lo que quieres probar es que si no existen valores enteros \( x,y \)  no negativos tales que:

\( B=2x^2+2xy+4x+3y  \)

entonces \( 2B+3 \)es primo.

¿Es así?.

En es caso observa que:

\( 2x^2+2xy+4x+3y=2x(x+y)+3(x+y)+x=(2x+3)(x+y)+x \)

y de ahí:

\( 2(2x^2+2xy+4x+3y)+3=2(2x+3)(x+y)+2x+3=(2x+3)(2(x+y)+1) \)   (*)

Ahora si \( 2B+3 \) NO es primo, es producto de dos números impares:

\( (2B+3)=(2n+1)(2m+1) \) con \( m\geq n\geq 1 \).

Tomando \( x=n-1\geq 0 \) e \( y=m+1-n\geq 1 \) y aplicando (*):

\( (2B+3)=(2x+3)(2(x+y)+1)=2(2x^2+2xy+4x+3y)+3 \)

y por tanto:

\( B=2x^2+2xy+4x+3y \) para ciertos valores de \( x,y \) enteros.

Saludos.

[feriva]

Hola, Juan Luis.

Tampoco estaba muy seguro de lo que planteabas; pero intuyo qué buscas y creo que lo que buscas no es posible. Precisamente nuestro amigo Goldbach descubrió esto que puedes leer aquí

https://www.gaussianos.com/existen-polinomios-que-den-valores-primos-para-todo-numero-natural/

Saludos.

[juan luis]

Hola
para \( A=2x^2+2xy+4x+3y \)
si damos a x e y valores enteros positivos, obtenemos una serie de números como  3, 6, 9,11,12, 15, 16, 18,23, 24, .........
si de los números naturales eliminamos estos números tendremos la serie  \( B \) = 0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13,14,17, 19, 20, ........

por eso digo para \( B\neq{A} \)  siempre  \( 2B+3=\textrm{primo} \) 

por ejemplo:

     \( 2*5+3=13 \)

     \( 2*10+3=23 \)

     \( 2*17+3=37 \)

     \( 2*20+3=43 \)

La prepuesta era demostrar que siempre ocurre esto
gracias por su ayuda.

Un saludo

[ciberalfil]

Es ingenioso, pero será mas facil encontrar un contraejemplo, es decir un caso en que no se cumpla, a lo mejor debes llegar hasta 100 para encontrarlo pero seguro que existe.

Salu2

[feriva]

Hola
para \( A=2x^2+2xy+4x+3y \)
si damos a x e y valores enteros positivos, obtenemos una serie de números como  3, 6, 9,11,12, 15, 16, 18,23, 24, .........
si de los números naturales eliminamos estos números tendremos la serie  \( B \) = 0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13,14,17, 19, 20, ........

por eso digo para \( B\neq{A} \)  siempre  \( 2B+3=\textrm{primo} \) 

por ejemplo:

     \( 2*5+3=13 \)

     \( 2*10+3=23 \)

     \( 2*17+3=37 \)

     \( 2*20+3=43 \)

La prepuesta era demostrar que siempre ocurre esto
gracias por su ayuda.

Un saludo

Hola, Juan Luis. Pero cómo se van dando los valores, ¿cuál es el patrón para darlos?

Parece que es

x=0;y=1 aquí sale 3

x=0;y=2 aquí sale 5

x=0;y=3 aquí sale 9

x=1;y=1 aquí sale 11

x=0;y=4 aquí 12

x=0;y=5 aquí 15

x=2;y=0 aquí 16

x=0;y=6 aquí 18...

¿Qué forma tiene esto, cuál es la regla? Porque ahí es donde va a estar lo difícil, si no hay una regla fija...

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Un algoritmo para calcular los primeros 1000 es:

Spoiler

#include<stdio.h>

int main()
{
   int a[1000][1000],i,j;
   for(i=0;i<1000;i++)
      {
         for(j=0;j<1000;j++)
        {
          a[j] = 2*i*i + 2*i*j + 4*i+3*j;
          printf("%d\n",a[j]);
        }
      
      }
       return 0;
}

[cerrar]

Aunque el algoritmo que pones "no de todos los primos" no lo sé,  la verdad que da muchísimos, tasteando   vi que todos eran primos pero claro sólo había que modificar el algoritmo para ver si se cumplía para ciertos valores , pero como soy un ignorante en programación,espera una solución mejor.

[geómetracat]

No entiendo por qué le dais más vueltas a esto. La respuesta que dio Luis Fuentes cierra totalmente el tema: es cierto que todos los números de la forma \( 2B+3 \) donde \( B \) no es de la forma \( 2x^2+2xy+4x+3y \) son primos.

[feriva]

Hola, geómetracat.

No entiendo por qué le dais más vueltas a esto. La respuesta que dio Luis Fuentes cierra totalmente el tema

Bueno, digamos que la respuesta de Luis contesta a la pregunta de Juan Luis, pero creo que la cuestión tiene curiosidades que comentar.

Lo que preguntaba a Juan Luis en mi última respuesta era cómo dar valores a “x” e “y” para obtener soluciones de números naturales consecutivas de la expresión “A” (no necesariamente desde cero, consecutivos a partir de donde sea).

Si él tuviera una forma de hacer esto, entonces encontraría números digamos A=a y A=b tales que conocería también los enteros que hay entre “a” y “b” no pertenecientes a “A”, pudiendo calcular con una simple operación los primos correspondientes (en algunos casos, “a” y “b” podrían no sólo ser soluciones de A consecutivas sino también naturales consecutivos; pero creo que debe de haber muy pocos caso así, intuyo).

Si se pudiera hacer eso, entonces podríamos buscar un “a” arbitrario lo suficientemente grande como para que el primo obtenido a partir de algún número contenido en (a,b) fuera mayor que \( 2^{82.589.933}-1
  \) por ejemplo; que, creo, es el primo más grande encontrado hasta ahora, si no se ha encontrado otro últimamente.

Es más, aunque no pudiéramos encontrar unos “A” consecutivos por la dificultad que entrañe esto, a lo mejor sí podríamos encontrar unos “A” lo suficientemente cercanos como para acotar una zona que se pudiera rastrear en un tiempo razonable (quizá soy muy optimista, hablo sin probar nada, pero así a vista de pájaro me parece que podría valer para algo).

Saludos.

[geómetracat]

Ya entiendo. Aunque la verdad es que no creo que esto aporte nada nuevo a la búsqueda de primos, porque saber qué números son de la forma \( A \) es (probablemente) más difícil que comprobar que un número dado es primo.

Tal como yo lo veo, esto es una versión un poco más rebuscada de la siguiente observación:
Un número \( n \) es primo si no es de la forma \( (x+1)(y+1) = xy+x+y+1 \) para algunos \( x,y \geq1 \), que es obvia ya que los números de la forma \( (x+1)(y+1) \) son exactamente los números compuestos. Ahora bien, usar esto para encontrar primos es más o menos lo mismo que usar la criba de Eratóstenes.