Hola, ¿como estás?
Yo veo las cosas de la siguiente manera. En lo que has dicho aquí coincido plenamente contigo:
Ok, gracias. Según tu razonamiento, esto mismo se hace para los \( x\in{(-3/2,3/2)} \), y así sucesivamente, concluyendo que el limite para \( f \) no existe en los extremos de estos intervalos?
Ahora bien, en lo que has dicho aquí no tanto:
Si \( x\neq{p/2q} \) entonces f es continua, por lo cual la función \( g(x) \) es uniformemente continua.
Yo diría que, por lo que tú has dicho en el mensaje en el que coincidimos ambos, en \( x=p/2q \) son discontinuas las funciones del tipo: \( f_{kq}(x) \) para todos los k impares.
Por otro lado, en \( x\neq{p/2q} \) todas las \( f_n(x) \) son continuas, también por lo de la misma sentencia que ambos consideramos verdadera.
Ahora vayamos con la función g(x). Yo intenté demostrar en mi primera respuesta que g(x) converge uniformemente porque simplemente cumple el criterio de Weierstrass. Es este hecho el que nos permite asegurar que, para cualquier \( x_0 \):
\( \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{g(x)}=\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f_n(x)}}{n^2} \)
Como consecuencia de esto último podemos decir que allá donde las \( f_n(x) \) sean todas continuas, también lo será g(x).
También como consecuencia de esto último y del valor de los límites laterales que hemos calculado aquí:
Entonces, substituyendo \( k=2k'+1 \) y \( p=2p'+1 \):
\( \displaystyle\lim_{x \to\left( \displaystyle\frac{p}{2q} \right)^+ }{f_{kq}(x)}=\displaystyle\lim_{x \to\left( \displaystyle\frac{p}{2q} \right)^+ }{f(kqx)} = \displaystyle\lim_{x \to p^+ }{f(k\displaystyle\frac{x}{2})}= \displaystyle\lim_{x \to (2p'+1)^+ }{f((2k'+1)\displaystyle\frac{x}{2})}=\displaystyle\lim_{x \to 1^+ }{f(\displaystyle\frac{x}{2})}=-\displaystyle\frac{1}{2} \)
podemos demostrar que los límites de g(x) en \( x_0=\displaystyle\frac{p}{2q} \) son distintos a \( g\left( \displaystyle\frac{p}{2q} \right) \), y por tanto g(x) es discontinua en esos puntos:
Espero que haya quedado un poco más claro
. Saludos