Autor Tema: Distribución de variables independientes que se suman, relación N con Chi Cuadr.

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06 Abril, 2021, 10:57 pm
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Andyfaith

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Hola, estoy intentando aprender estadística y venía bien, pero acá ya me trabé.

Si me dicen que tengo la variable \( x, y, z \) (independientes) distribuidas normalmente \( x\sim N(0,2) \) y me piden hallar \( \color{red}P((x^2 +y^2+ z^2)>2,336)\color{black} \)

Mi duda es esta: yo sé que tengo que buscar la distribución chi cuadrada con 3 grados de libertad porque me aclara que son 3 variables independientes. Pero en la tabla eso me da 0,5 (y si hago 1 menos 0,5 me sigue dando 0,5)

Se que tengo que hacer otra cosa, tipificar o estandarizar como también se dice, pero me estoy quedando en la primer parte de mi planteo. Yo no estoy entendiendo bien como empezar. No quiero que me den el ejercicio hecho, necesito saber cómo empezar. Gracias.

Yo ponía algo así

\( (\displaystyle\frac{(x-0)}{4}^2 + \displaystyle\frac{(y-0)}{4}^2 + \displaystyle\frac{(z-0)}{4}^2)>2,336 \)

Pero ahí también me quedo en... ¿cómo sigo?  :'(


más abajo pongo lo que me debería dar según la guía de estudios.
 :)

La respuesta del ejercicio es 0,9.

CORREGIDO

07 Abril, 2021, 10:48 am
Respuesta #1

geómetracat

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Ya casi lo tienes. Si \[ X,Y,Z \sim N(0,2) \], entonces tipificando, \[ \frac{X}{2},\frac{Y}{2},\frac{Z}{2} \sim N(0,1) \] y son independientes.

Como la suma de los cuadrados de tres normales estándar independientes se distribuye como una \[ \chi_3 \], tienes que:
\[ \frac{X^2+Y^2+Z^2}{4} \sim \chi_3 \].
Ahora, para calcular la probabilidad que te piden:
\[ P(X^2+Y^2+Z^2>2.336)=P\left(\frac{X^2+Y^2+Z^2}{4}>\frac{2.336}{4}\right)=P(U >0.584) \] donde \[ U \sim \chi_3 \]. Ahora puedes calcular esta última probabilidad usando tablas o con un programa y te dará \[ 0.9 \] (aproximadamente).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Abril, 2021, 11:17 pm
Respuesta #2

Andyfaith

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Muchísimas gracias. Es que no tenía idea bien de cómo seguir porque en el libro no conseguía un ejemplo. Y esto me aclaro todo. Muchísimas gracias  :) ;)