Autor Tema: Escogemos 3 puntos al azar (todas las elecciones equiprobables). Calcula....

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14 Junio, 2015, 04:57 pm
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Raúl Aparicio Bustillo

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En una circunferencia se escogen al azar tres puntos A, B y C. Calcular la probabilidad de que los 3 estén situados en un mismo arco de 90º

14 Junio, 2015, 06:53 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Como \(  90^{\circ}  \) es \( \dfrac{1}{4}  \) de la circunferencia entonces lo pedido será \(  \dfrac{1}{4^3}  \)

15 Junio, 2015, 06:44 am
Respuesta #2

Raúl Aparicio Bustillo

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Sin perdida de generalidad, podemos elegir que el primer punto esté en 0º. Que el 2º punto esté en ese mismo cuadrante tiene probabilidad 0,25. Que el  tercer punto esté además en el mismo cuadrante que el 2º tiene 0,25, pero no está claro que los 3 en conjuntos estén en el mismo cuadrante, el resultado \( \displaystyle\frac{1}{4^2} \), es la probabilidad de que 2 a 2 estén en el mismo cuadrante, pero nada más.

15 Junio, 2015, 07:13 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Estas pidiendo que los tres estén en un arco de \(  90^{\circ}  \) se está utilizando la distribución uniforme.

Sea \(  C_i = \{  \) el punto i está en el arco deseado \(  \}  \) estamos buscando:

\(  P[C_1 \cap C_2 \cap C_3] =   P[C_1]  \cdot  P[C_2] \cdot  P[C_3] = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}  \).

15 Junio, 2015, 08:25 am
Respuesta #4

Raúl Aparicio Bustillo

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No puedes usar la fórmula  \(  P[C_1 \cap C_2 \cap C_3] =   P[C_1]  \cdot  P[C_2] \cdot  P[C_3] = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}  \) porque no son sucesos independientes. Si 2 no están en el mismo cuadrante, la probabilidad de que el 3º lo esté es nula, no 0,25

15 Junio, 2015, 10:12 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

En una circunferencia se escogen al azar tres puntos A, B y C. Calcular la probabilidad de que los 3 estén situados en un mismo arco de 90º

La cuestión es como se interpreta el enunciado:

- Juan Pablo ha entendido que pregunta la probabilidad de que los tres puntos estén en un mismo arco de \( 90^º \) previamente fijado (por ejemplo en el primer cuadrante). En ese caso su solución es correcta:

Como \(  90^{\circ}  \) es \( \dfrac{1}{4}  \) de la circunferencia entonces lo pedido será \(  \dfrac{1}{4^3}  \)

- Yo interpreto sin embargo que el eunciado se refiere a la probabilidad de que los tres puntos estén en un arco arbitario de \( 90 \) grados, es decir, que el ángulo que forman los puntos más alejados no supere \( 90 \) grados.

 En ese caso efectivamente sin pérdida de generalidad podemos suponer que el primer punto está en \( 0^o \). Consideramos los otros puntos \( x,y\in [-180,180] \) de manera uniforme. Para que los tres estén en un mismo arco de \( 90 \) grados tiene que cumplirse que:

\( x\in [-90,90] \)

\( y\in [x-90,90] \) si \( x>0 \)
\( y\in [-90,x+90] \) si \( x<0 \)



 De ahí es inmediato que la probabilidad pedida es \( \dfrac{3}{16}. \)

Saludos.

15 Junio, 2015, 10:56 am
Respuesta #6

Raúl Aparicio Bustillo

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Sí, esa es la solución que tenía yo, yo tenía 1 pero ocupa como 3 hojas de un libro, y en realidad la respuesta tuya es sencillisima, casi puede ser un problema de bachillerato

Saludos, gracias

05 Abril, 2021, 08:04 pm
Respuesta #7

poolnikov

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