Autor Tema: Conjuntos no homeomorfos.

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24 Junio, 2022, 02:08 pm
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S.S

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Hola a todos estoy tratando de verificar lo siguiente.

¿Los conjuntos \( A= [0,1)\times [0,1) \) e \( B=(0,1)\times (0,1) \) son homeomorfos?

La verdad en primer lugar dije que no porque \( (0,1)\times (0,1) \) es abierto en \( \mathbb{R}^{2} \) y \( [0,1)\times [0,1) \) no es abierto en \( \mathbb{R}^{2} \) y si existiera un homemorfismo \( h:A\to B \) este deberia enviar abiertos en abiertos, pero me surgio la duda que \( h \) sea una aplicación abierta, debo revisar los conjuntos abiertos en \( \mathbb{R}^{2} \) o en \( A,B \) porque si es asi  \( A,B \) son abiertos como espacios topológicos (creo), luego no podría aplicar mi primera idea.

Gracias.

24 Junio, 2022, 04:47 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola a todos estoy tratando de verificar lo siguiente.

¿Los conjuntos \( A= [0,1)\times [0,1) \) e \( B=(0,1)\times (0,1) \) son homeomorfos?

La verdad en primer lugar dije que no porque \( (0,1)\times (0,1) \) es abierto en \( \mathbb{R}^{2} \) y \( [0,1)\times [0,1) \) no es abierto en \( \mathbb{R}^{2} \) y si existiera un homemorfismo \( h:A\to B \) este deberia enviar abiertos en abiertos, pero me surgio la duda que \( h \) sea una aplicación abierta, debo revisar los conjuntos abiertos en \( \mathbb{R}^{2} \) o en \( A,B \) porque si es asi  \( A,B \) son abiertos como espacios topológicos (creo), luego no podría aplicar mi primera idea.

Es cierto que NO son homeomorfos; pero es cierto también que el argumento que intentabas dar no vale, porque todo conjunto es abierto con su propia topología.

No se me ocurre un argumento excesivamente sencillo para ver que NO son homeomorfos; si has dado la teoría que lo sustenta el camino que se me ocurre es el siguente.

Si existiese un homeomorfismo entre ambos llevaría el punto \( P=(0,0) \) de \( A \) en un punto \( Q=(x,y) \) de \( B \), de manera que \( A-\{P\} \) tendría que ser homeomorfo a \( B-\{Q\} \). Pero el primer conjunto es simplemente conexo y el segundo no; luego es imposible.

Saludos.

25 Junio, 2022, 01:53 am
Respuesta #2

S.S

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Hola Luis. Gracias por la respuesta.

No conozco la teoría de los simplemente conexos, pero con eso es suficiente para iniciar la busqueda.

 Gracias de nuevo.

25 Junio, 2022, 10:36 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

No conozco la teoría de los simplemente conexos, pero con eso es suficiente para iniciar la búsqueda.

De todas formas tengo cierta curiosidad sobre el contexto en el cuál has encontrado el problema.

¿Es un problema de un libro, de un curso? Si es así, ¿podrías resumir que teoría previa sobre topología se ha explicado antes?. Lo lógico es que el ejercicio esté pensado para aplicar cosas ya vistas.

Saludos.

28 Junio, 2022, 01:12 am
Respuesta #4

S.S

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Hola Luis. Solo lo vi en una pizarra .   :D