Autor Tema: Aplicación polinómica entre espacios afines.

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07 Junio, 2022, 03:25 am
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zimbawe

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Hola a todos. Espero la estén pasando bien.
He estado estudiando geometría algebraica y me encontré un comentario, que no comprendo del todo bien. Quedo agradecido con su ayuda.
Es el siguiente.
Primero:
Sean \(  V \subset \mathbb{A}^{n}  \), \(  W \subset \mathbb{A}^{m}  \) variedades. Una función \(  \varphi: V \rightarrow{W}  \) se denomina una aplicación polinómica si existen \(  T_1,..,T_m \ in K[X_1,...,X_n]  \) tales que
\(  \varphi(a_1,...,a_n)=(T_1(a_1,...,a_n),...,T_m(a_1,...,a_n)) \in W \forall (a_1,..,a_n) \in V  \).
Esto lo entiendo bien.
Ahora lo que no comprendo muy bien, es el siguiente comentario:
Si \(  V=\mathbb{A}^{n}  \) y \(  W=\mathbb{A}^{m}  \) y \(  T_1,..,T_m \in K[X_1,...,X_n]  \) determinan una aplicación polinómica \(  T: \mathbb{A}^{n} \longrightarrow{\mathbb{A}^{m}} \), los \(  T_i  \) están univocamente determinados por \(  T  \)
No comprendo muy bien el comentario. Agradecería si me ayudarán a dilucidarlo.
Mil y mil gracias.

07 Junio, 2022, 08:53 am
Respuesta #1

geómetracat

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No es nada muy profundo. Lo que quiere decir ahí es que si tienes \( m \) polinomios \( T_1,\dots,T_m \in K[X_1, \dots, X_m] \) entonces puedes definir una aplicación polinómica \( T:\Bbb A^n \to \Bbb A^m \) dada por \( T(a_1,\dots,a_n)=(T_1(a_1,\dots, a_n), \dots, T_m(a_1,\dots, a_n)) \). Y que si te dan una aplicación \( T:\Bbb A^n \to \Bbb A^m \) puedes recuperar de manera única sus componentes \( T_1, \dots, T_m \), por ejemplo, sin más que aplicar proyecciones: \( T_i = \pi_i \circ T \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Junio, 2022, 01:16 am
Respuesta #2

zimbawe

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Ahhhh, pensé que era algo más complejo. Mil gracias.