Autor Tema: Números de vuelta son invariantes por traslación

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07 Mayo, 2022, 03:11 am
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alumnolibre

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Hola, tengo el siguiente problema

Pruebe que los números de vuelta son invariantes por traslación, en el siguiente sentido. Sea $$\gamma:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}^2\backslash P}$$, y sea $$v$$ cualquier vector en el plano. Sea $$\gamma + v$$ el camino definido por $$(\gamma +v )(t)=\gamma(t)+v$$. Pruebe que:  $$W(\gamma+v, P+v)=W(\gamma,P)$$

Donde $$W(\gamma,P)$$ esta definido como: $$W(\gamma,P)=\dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(\theta_j(P_j)-\theta_j(P_{j-1}))}$$

Encontré cierta solución que esta en inglés, donde tengo unas dudas y ojalá puedan aclararmelas,que detallo tal cual:

To compute $$W(\gamma+v, P+v)$$ we first choose a partition $$a=t_0\leq t_1 \leq ...\leq t_n=b$$ so that each image $$\gamma[t_{j-1},t_j]$$ is contained in a sector $$U_j$$ at $$P$$, and then we chose angle functions $$\theta_j$$ for these sector.

Given this, it is clear $$U_j+v$$ are sectors at $$P+v$$ and that the partition $$a=t_0\leq t_1 \leq ...\leq t_n=b$$ also has the property that the image $$(\gamma+v)[t_{j-1},t_j]\subset{U_j}+v$$. Moreover, the function $$\theta^{\prime}_j(Q)=\theta_j(Q-v)$$ is an angle function for the sector $$U_j+nu$$. We then have (with $$P_j = \gamma(t_j)$$):

$$W(\gamma+v,P+v)=\dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(\theta^{\prime}_j(P_j+v)-\theta^{\prime}_j(P_{j-1}+v))}$$
$$W(\gamma+v,P+v)=\dfrac{1}{2\pi} \displaystyle\sum_{i=1}^n{(\theta_j(P_j)-\theta_j(P_{j-1}))}$$
$$W(\gamma+v,P+v)=W(\gamma,P)$$

Una de mis dudas es por que la función $$\theta^{\prime}_j(Q)=\theta_j(Q-v)$$ lo define de esa forma, entiendo que lo usa para llegar que $$\theta^{\prime}_j(P_j+v)=\theta_j(P_j)$$, ¿hay algún sustento o solo es por que se acomoda a la solución?.

Y la otra es en $$U_j+nu$$, ¿$$nu$$ es el conjuntos de vectores que pueden ser $$v$$, $$n$$ es escalar, $$u$$ es vector?



07 Mayo, 2022, 09:06 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Una de mis dudas es por que la función $$\theta^{\prime}_j(Q)=\theta_j(Q-v)$$ lo define de esa forma, entiendo que lo usa para llegar que $$\theta^{\prime}_j(P_j+v)=\theta_j(P_j)$$, ¿hay algún sustento o solo es por que se acomoda a la solución?.
Es bastante lógico tomar esa función ángulo. La idea es que como sabes medir ángulos en \( U_j \) (con vértice \( P \)), y los ángulos se preservan por traslaciones, para medir ángulos en el trasladado \( U_j+v \) puedes tomar el ángulo, trasladarlo a \( U_j \) restando \( v \), y medirlo con la función ángulo que tenías allí. Esto es exactamente lo que significa usar \( \theta_j'(Q) = \theta(Q-v) \).

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Y la otra es en $$U_j+nu$$, ¿$$nu$$ es el conjuntos de vectores que pueden ser $$v$$, $$n$$ es escalar, $$u$$ es vector?
Pues yo creo que debe ser una errata y \( nu \) debería ser \( v \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Mayo, 2022, 12:46 am
Respuesta #2

alumnolibre

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Muchas gracias por despejarme las dudas  :aplauso: