Autor Tema: Isometrías preservan productos internos

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17 Abril, 2022, 05:27 am
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Eren

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En el libro de A First Course in Abstract Algebra de J. Rotman, aparece el argumento siguiente:

      Let \(P \cdot Q\) denote the dot product:
      \[
        P \cdot Q=a c+b d .
      \]

      Now
      \[
        \begin{aligned}
          (P-Q) \cdot(P-Q) & =P \cdot P-2(P \cdot Q)+Q \cdot Q                              \\
                          & =\left(a^{2}+b^{2}\right)-2(a c+b d)+\left(c^{2}+d^{2}\right)  \\
                          & =\left(a^{2}-2 a c+c^{2}\right)+\left(b^{2}-2 b d+d^{2}\right) \\
                          & =(a-c)^{2}+(b-d)^{2}                                           \\
                          & =\|P-Q\|^{2}
        \end{aligned}
      \]
      It follows that every isometry \(\varphi\) preserves dot products:
      \[
        \varphi(P) \cdot \varphi(Q)=P \cdot Q,
      \]
      because
      \[
        \varphi(P) \cdot \varphi(Q)=\|\varphi(P)-\varphi(Q)\|^{2}=\|P-Q\|^{2}=P \cdot Q .
      \]


La parte en color rojo es incorrecta, ¿no es cierto? ¿Cómo es que el producto punto de $$P$$ y $$Q$$ es igual al cuadrado de la distancia entre ellos? Lo que yo puedo obtener a partir de los cálculos que se muestran es que
\[
2P\cdot Q = -\| P - Q\|^2 + \| P \|^2 + \| Q\|^2,
\]
y de aquí puede obtenerse la invariancia del producto punto bajo isometrías, ¿cierto?.

17 Abril, 2022, 07:07 am
Respuesta #1

Masacroso

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En el libro de A First Course in Abstract Algebra de J. Rotman, aparece el argumento siguiente:

      Let \(P \cdot Q\) denote the dot product:
      \[
        P \cdot Q=a c+b d .
      \]

      Now
      \[
        \begin{aligned}
          (P-Q) \cdot(P-Q) & =P \cdot P-2(P \cdot Q)+Q \cdot Q                              \\
                          & =\left(a^{2}+b^{2}\right)-2(a c+b d)+\left(c^{2}+d^{2}\right)  \\
                          & =\left(a^{2}-2 a c+c^{2}\right)+\left(b^{2}-2 b d+d^{2}\right) \\
                          & =(a-c)^{2}+(b-d)^{2}                                           \\
                          & =\|P-Q\|^{2}
        \end{aligned}
      \]
      It follows that every isometry \(\varphi\) preserves dot products:
      \[
        \varphi(P) \cdot \varphi(Q)=P \cdot Q,
      \]
      because
      \[
        \varphi(P) \cdot \varphi(Q)=\|\varphi(P)-\varphi(Q)\|^{2}=\|P-Q\|^{2}=P \cdot Q .
      \]


La parte en color rojo es incorrecta, ¿no es cierto? ¿Cómo es que el producto punto de $$P$$ y $$Q$$ es igual al cuadrado de la distancia entre ellos? Lo que yo puedo obtener a partir de los cálculos que se muestran es que
\[
2P\cdot Q = -\| P - Q\|^2 + \| P \|^2 + \| Q\|^2,
\]
y de aquí puede obtenerse la invariancia del producto punto bajo isometrías, ¿cierto?.

Sí, es un error muy gordo. Se habrá despistado ahí Rotman, seguramente quisiese escribir otra cosa, pero no tengo muy claro el qué. Es cierto que las isometrías preservan los productos internos, pero eso es debido a que el dual de Hilbert (en espacios de Hilbert de dimensión finita) de una isometría es igual a su inversa, es decir que \( \varphi ^*=\varphi ^{-1} \) y por tanto \( \langle \varphi P,\varphi Q \rangle=\langle \varphi ^*\varphi P,Q \rangle=\langle P,Q \rangle    \) (aquí he utilizado la notación \( \langle \,\cdot\, ,\,\cdot\,  \rangle  \) para el producto interior).

Corrección: había pasado por alto que, si la dimensión del espacio de Hilbert es infinita, entonces las isometrías no son necesariamente invertibles.

17 Abril, 2022, 07:25 am
Respuesta #2

Eren

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Hola, Masacroso.

Gracias por la aclaración. Aunque no fui capaz de entender eso del dual de Hilbert. No conozco el concepto, y lo que encontré en la red no fue de mucha ayuda. Aunque creo que el hecho de que una isometría preserva el producto interno puede deducirse también de la relación \( 2P\cdot Q = -\| P - Q\|^2 + \| P \|^2 + \| Q\|^2 \), pues si $$\phi$$ es una isometría entonces
\[
\phi(P)\cdot \phi(Q) = \frac{1}{2} \left(-\| \phi(P) - \phi(Q)\|^2 + \| \phi(P) \|^2 + \| \phi(Q)\|^2 \right ) = \frac{1}{2} \left( -\| P - Q\|^2 + \| P \|^2 + \| Q\|^2 \right) = P\cdot Q.
\]
 
En esos cálculos he usado el hecho de que la isometría preserva la norma, lo cual es fácil de ver. La relación \( 2P\cdot Q = -\| P - Q\|^2 + \| P \|^2 + \| Q\|^2 \) se obtiene de inmediato al desarrollar $$(P - Q)\cdot (P - Q)$$, que fue lo que hizo Rotman antes de llegar a la errata.

¿Ves correcta esa idea?

17 Abril, 2022, 08:56 am
Respuesta #3

Masacroso

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Hola, Masacroso.

Gracias por la aclaración. Aunque no fui capaz de entender eso del dual de Hilbert. No conozco el concepto, y lo que encontré en la red no fue de mucha ayuda. Aunque creo que el hecho de que una isometría preserva el producto interno puede deducirse también de la relación \( 2P\cdot Q = -\| P - Q\|^2 + \| P \|^2 + \| Q\|^2 \), pues si $$\phi$$ es una isometría entonces
\[
\phi(P)\cdot \phi(Q) = \frac{1}{2} \left(-\| \phi(P) - \phi(Q)\|^2 + \| \phi(P) \|^2 + \| \phi(Q)\|^2 \right ) = \frac{1}{2} \left( -\| P - Q\|^2 + \| P \|^2 + \| Q\|^2 \right) = P\cdot Q.
\]
 
En esos cálculos he usado el hecho de que la isometría preserva la norma, lo cual es fácil de ver. La relación \( 2P\cdot Q = -\| P - Q\|^2 + \| P \|^2 + \| Q\|^2 \) se obtiene de inmediato al desarrollar $$(P - Q)\cdot (P - Q)$$, que fue lo que hizo Rotman antes de llegar a la errata.

¿Ves correcta esa idea?

Sí, es correcto.

17 Abril, 2022, 06:04 pm
Respuesta #4

Eren

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Sí, es correcto.

Seguí pensando en esto, y me di cuenta de que no, no es correcto el argumento que he dado. Mi afirmación de que una isometría preserva la norma es falsa, como puede verse al tomar, por ejemplo, la aplicación $$\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$$ dada por $$(x,y) \mapsto (x+1,y)$$, que es una isometría para la cual tenemos que $$\| \phi((1,0)) \| = \| (2,0) \| = 2 \neq 1 = \| (1,0) \|$$. De hecho, esta misma isometría no preserva el producto interno: $$\phi((1,0))\cdot \phi((0,1)) = 2$$, mientras que originalmente $$(1,0)\cdot (0,1) = 0$$. Entonces, creo que el problema tiene que ver con el posicionamiento de los vectores respecto del origen. Recuerdo haber leído que un espacio afín es como un espacio vectorial en el que nos hemos olvidado del origen. ¿Será ese el contexto en el que podemos afirmar que las isometrías preservan ángulos?

17 Abril, 2022, 07:46 pm
Respuesta #5

Masacroso

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Sí, es correcto.

Seguí pensando en esto, y me di cuenta de que no, no es correcto el argumento que he dado. Mi afirmación de que una isometría preserva la norma es falsa, como puede verse al tomar, por ejemplo, la aplicación $$\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$$ dada por $$(x,y) \mapsto (x+1,y)$$, que es una isometría para la cual tenemos que $$\| \phi((1,0)) \| = \| (2,0) \| = 2 \neq 1 = \| (1,0) \|$$. De hecho, esta misma isometría no preserva el producto interno: $$\phi((1,0))\cdot \phi((0,1)) = 2$$, mientras que originalmente $$(1,0)\cdot (0,1) = 0$$. Entonces, creo que el problema tiene que ver con el posicionamiento de los vectores respecto del origen. Recuerdo haber leído que un espacio afín es como un espacio vectorial en el que nos hemos olvidado del origen. ¿Será ese el contexto en el que podemos afirmar que las isometrías preservan ángulos?

Cierto, no había caído en la existencia de isometrías no lineales. Supongo que en el contexto del libro se refieren a isometrías lineales, las cuales sí preservan la norma y el producto.

17 Abril, 2022, 07:56 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Yo también creo que aquí se refieren a isometrías lineales.

De todas formas, en \[ \Bbb R^n \] con la distancia euclídea lo que sí es cierto es que cualquier isometría se puede expresar como la composición de una traslación con una isometria lineal (que sí que preserva la norma y el producto escalar).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

17 Abril, 2022, 11:31 pm
Respuesta #7

Eren

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Cierto, no había caído en la existencia de isometrías no lineales. Supongo que en el contexto del libro se refieren a isometrías lineales, las cuales sí preservan la norma y el producto.

Yo también creo que aquí se refieren a isometrías lineales.

Dos páginas adelante, Rotman presenta el siguiente ejemplo:

    Given a point \(V\), translation by \(V\) is the function \(\tau_{V}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) defined by \(\tau_{V}(U)=U+V\). Translations lie in \(\mathbf{Isom}\left(\mathbb{R}^{2}\right)\); a translation \(\tau_{V}\) fixes the origin if and only if \(V=O\), so that the identity is the only translation which is also a rotation.

Aunque los resultados principales de esa sección son para isometrías lineales (que demuestra ser equivalentes a isometrías que fijan el origen, y que da el nombre de aplicaciones ortogonales), el contexto general incluye isometrías no lineales. Entonces, creo que Rotman debió haber pospuesto la conclusión de que las isometrías preservan el producto interno hasta ese punto, y formularla en términos de aplicaciones ortogonales. Quizá esa era la idea original y al final ese contenido terminó ahí donde está.

De todas formas, en \[ \Bbb R^n \] con la distancia euclídea lo que sí es cierto es que cualquier isometría se puede expresar como la composición de una traslación con una isometria lineal (que sí que preserva la norma y el producto escalar).

Intentaré demostrar eso como ejercicio.

Gracias por sus aclaraciones. Saludos.

18 Abril, 2022, 07:52 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

    Given a point \(V\), translation by \(V\) is the function \(\tau_{V}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) defined by \(\tau_{V}(U)=U+V\). Translations lie in \(\mathbf{Isom}\left(\mathbb{R}^{2}\right)\); a translation \(\tau_{V}\) fixes the origin if and only if \(V=O\), so that the identity is the only translation which is also a rotation.

Aunque los resultados principales de esa sección son para isometrías lineales (que demuestra ser equivalentes a isometrías que fijan el origen, y que da el nombre de aplicaciones ortogonales), el contexto general incluye isometrías no lineales. Entonces, creo que Rotman debió haber pospuesto la conclusión de que las isometrías preservan el producto interno hasta ese punto, y formularla en términos de aplicaciones ortogonales. Quizá esa era la idea original y al final ese contenido terminó ahí donde está.

 No obstante, la afirmación de que una isometría conserva el producto escalar, puede tener sentido incluso para isometrías no lineales, si uno la interpreta de manera adecuada. El producto escalar actúa sobre vectores, no sobre puntos; cuando uno trabaja con isometrías no lineales (afines) conceptualmente los elementos de \( \Bbb R^n \) están siendo tratados como puntos y no como vectores. Los vectores se obtienen uniendo puntos. Entonces una forma razonable de interpretar que una isometría \( f \) conserva el producto escalar es que verifica:

\( \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{f(A)f(B)}\cdot \overrightarrow{f(A)f(C)} \)

Saludos.

19 Abril, 2022, 03:16 am
Respuesta #9

Eren

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Hola, Luis.

No obstante, la afirmación de que una isometría conserva el producto escalar, puede tener sentido incluso para isometrías no lineales, si uno la interpreta de manera adecuada. El producto escalar actúa sobre vectores, no sobre puntos; cuando uno trabaja con isometrías no lineales (afines) conceptualmente los elementos de \( \Bbb R^n \) están siendo tratados como puntos y no como vectores. Los vectores se obtienen uniendo puntos. Entonces una forma razonable de interpretar que una isometría \( f \) conserva el producto escalar es que verifica:

\( \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{f(A)f(B)}\cdot \overrightarrow{f(A)f(C)} \)

Saludos.

Agradezco mucho esa aclaración. Entonces, lo mismo se hace para la norma de un vector, ¿cierto? Es decir, para que la isometría en $$\Bbb R^n$$ preserve normas, ¿definimos los vectores de $$\Bbb R^n$$ como "flechas" que van de un punto a otro en ese espacio? Así, por ejemplo, una traslación que mueve el punto (que no vector) $$P$$ al punto $$P + Q$$, mueve al vector $$\overrightarrow{OP}$$ al vector $$\overrightarrow{(O+Q)(P+Q)}$$, y ese sí que tiene la misma norma que el vector original. ¿Es correcta esta forma de decirlo?