[HtN]

Sean \( A, B, D, E, F \in \mathbb{R} \) tales que \( A < 0 < B \), ¿qué lugar geometrico en el plano cartesiano representa la ecuacion \( Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0 \)? (enunciando los casos "degenerados")

[Luis Fuentes]

Hola

Sean \( A, B, D, E, F \in \mathbb{R} \) tales que \( A < 0 < B \), ¿qué lugar geometrico en el plano cartesiano representa la ecuacion \( Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0 \)? (enunciando los casos "degenerados")

Vaya por delante que la forma de justificar las curvas que se obtienen puede ser más o menos rápido dependiendo de los resultados previos que conozcas sobre teoría de cónicas.

Completando cuadrados la ecuación puede escribirse (revisa las cuentas) como:

\( A\left(x+\dfrac{D}{2A}\right)^2+B\left(y+\dfrac{E}{2B}\right)^2=\underbrace{\dfrac{D^2}{4A}+\dfrac{E^2}{4B}-F}_{k} \)

 Dado que \( A<0 \) y \( B>0 \) deduce que:

 - Si \( k\neq 0 \) es una hipérbola.
 - Si \( k=0 \) son dos rectas que se cortan.

Saludos.