Autor Tema: Definición de recta proyectiva

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20 Marzo, 2022, 10:05 pm
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athairdos

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Hola; tengo un par de dudas a partir de unas preguntas y respuestas sobre una definicion de recta proyectiva; a raiz de una lectura del libro de Reid.

Mas o menos, serían así:

Dada la ecuación \( X^{2}+Y^{2}=1 \) para un plano \( \mathbb{P^{2}} \), sería correcto afirmar que el conjunto solución de la misma es una recta \( \mathbb{P^{1}} \)?

La dimensión del conjunto solución tendría que ser coincidente con la de \( \mathbb{P^{1}} \)?

Gracias; saludos

21 Marzo, 2022, 06:09 pm
Respuesta #1

athairdos

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Creo que tal vez me he confundido; la pregunta deberia haber sido para la ecuación \( X^{2}+Y^{2}=Z^{2} \); en cuyo caso la pregunta seria si el conjunto solución de la misma  es una recta proyectiva \( \mathbb{P^{1}} \), en el sentido de \( n+1 \) puntos proyectivos (o sea, 2 puntos).  (?)

La duda es a partir de un parrafo de un libro de Reid dde dice que la recta proyectiva es la union de 2 copias de un espacio afín (...).

Gracias; saludos.

22 Marzo, 2022, 08:19 am
Respuesta #2

geómetracat

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No es una recta proyectiva, en el sentido de que no es una recta en el plano. Las rectas en un plano proyectivo vienen dadas por una ecuación lineal, mientras que aquí tienes una ecuación de segundo grado, lo que te da una cónica (no degenerada en este caso) en el plano proyectivo.

Aún así, sí que es cierto que como variedad algebraica (sobre los reales o los complejos, digamos) tu cónica es isomorfa a \[ \Bbb P^1 \], es decir, se puede parametrizar por \[ \Bbb P^1 \]. Pero yo no diría que el conjunto solución es una recta proyectiva.

La duda es a partir de un parrafo de un libro de Reid dde dice que la recta proyectiva es la union de 2 copias de un espacio afín (...).
Pues no entiendo qué tiene que ver eso con lo que has preguntado, la verdad. Reid se refiere a que si tienes una recta proyectiva \[ \Bbb P^1 \] puedes considerar dos abiertos afines, \[ U_1 = \{ [x:y] \in \Bbb P^1 \mid x \neq 0 \} \] y \[ U_2 = \{ [x:y] \in \Bbb P^1 \mid y \neq 0 \} \], con la propiedad de que \[ U_1 \] y \[ U_2 \] son afines (es decir, son isomorfos al cuerpo base \[ k \]), y cumplen que \[ \Bbb P^1 = U_1 \cup U_2 \]. Pero en principio esto no tiene nada que ver con el plano proyectivo ni con ninguna variedad algebraica contenida en el plano.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)