Autor Tema: Las 27 rectas de una superficie cúbica

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15 Febrero, 2022, 06:25 pm
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marinavzqz

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Buenas,

Estoy demostrando el teorema que dice que toda superficie cúbica contiene 27 rectas.
Estoy trabajando sobre una superficie cúbica \( S \), que voy a definir como el lugar de ceros de un polinomio homogéneo \( F \) de grado 3 en 4 variables en el espacio proyectivo \(\mathbb P^3\), es decir, \(F  :  \mathbb P {^3} \rightarrow  \mathbb C\) y

\[S =\left\lbrace [X,Y,Z,T] : F(X,Y,Z,T) = a_0X^3+a_1X^2Y+a_2X^2Z+a_3X^2T+...+a_{18}Z^2T+a_{19}T^3 = 0\right\rbrace.\]

1. ¿Habría alguna forma de juntar estas dos expresiones en una más correcta?
2. Por otro lado, necesito que esta superficie sea irreducible y no singular. Y lo he argumentado como sigue, ¿estaría completo?

-Un punto \( P \) de una variedad \( V \) es no singular cuando \( V \) es suave en \( P, \) es decir, cuando el espacio tangente a \( V \) en \( P \), \(T_PV\), está bien definido. El que \( P \) sea no singular equivale a que no todas las derivadas parciales de \( f \) se anulen a la vez en \( P. \)

-Si \( V \) es proyectiva, el que \( P \) sea no singular es equivalente a que \( P \) sea no singular en un espacio afín \(V_0 \subset V\) que lo contenga y no singular en la parte del infinito correspondiente a \(V_0\).