Autor Tema: Cómo saber si un punto está contenido en un determinado segmento de recta

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27 Enero, 2022, 01:59 pm
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jlopezfdez

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Hola,

Si yo tengo un segmento de recta comprendido entre los puntos A(1,1) y B(5,5), necesito saber cómo determinar si un punto concreto está contenido en ese segmento de recta.

Por ejemplo el punto C(6,6) pertenecería a esa recta, pero no estaría comprendido en ese segmento.
El punto D(2,2) estaría en ese segmento.

Espero haberme explicado bien. Muchas gracias a todos.

27 Enero, 2022, 02:33 pm
Respuesta #1

jlopezfdez

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Igual me respondo a mi mismo  :D , pero podría ser calculando la longitud del segmento AB, digamos D,
y para el punto X calculamos la distancia de X a A, y la distancia de X a B, y si la suma de ambas es igual a la longitud del segmento es que el punto X está comprendido en el.
No sé si existe otra forma diferente.

27 Enero, 2022, 04:31 pm
Respuesta #2

Samir M.

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Podrías ver que el producto escalar de los vectores \( CA \) y \( BA \) es positivo, y que su producto vectorial es cero. esto es que los vectores están alineados y están en la misma dirección. Entonces podrías hacer lo de los módulos que comentas o simplemente mirar si la raíz del producto escalar de los vectores mencionados es menor que la distancia entre los puntos \( a \) y \( b \).
\[  e^{H_n}=\prod_{k=1}^n e^{1/k}\gt\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{1}{k}\right)=n+1 \therefore H_n\gt\log(n+1) \]

27 Enero, 2022, 05:09 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Lo de las distancias funciona bien, siempre que sepas de antemano que el punto pertenece a la recta \[ AB \].
Una alternativa a lo que propones y a lo que propone Samir, muy sencilla a nivel de cálculo, es la siguiente. Supón que tienes dos puntos, \[ A(a,b) \] y \[ B=(c,d) \] con \[ A \neq B \]. Entonces, dado un punto \[ X(x,y) \] cualquiera se tiene:
1) \[ X \] pertence a la recta \[ AB \] (pero quizás no al segmento), si y solo si \[ (x-a)(d-b)=(y-b)(c-a) \].
2) Supón que \[ X \] pertence a la recta \[ AB \]. Como \[ A \neq B \], al menos uno de los números \[ c-a \] y \[ d-b \] es distinto de \[ 0 \]. Entonces puedes calcular \[ \lambda := \frac{x-a}{c-a} \] o \[ \lambda := \frac{y-b}{d-b} \] (si ambos \[ c-a, d-b \] son no nulos las dos definiciones de \[ \lambda \] coinciden por el criterio de 1). Entonces, \[ X \] pertence al segmento \[ AB \] si y solo si \[ 0\leq \lambda \leq 1 \].

La lógica detrás de esto es muy sencilla: \[ X \] pertence a la recta \[ AB \] si y solo si \[ \vec{AX} = \lambda \vec{AB} \] para algún \[ \lambda \], y pertence al segmento si y solo si ese \[ \lambda \] está entre \[ 0 \] y \[ 1 \].

Corregido. Gracias Luis.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

27 Enero, 2022, 05:13 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Lo de las distancias funciona bien, siempre que sepas de antemano que el punto pertenece a la recta \[ AB \].

Funciona siempre, ¿no?:

\( d(A,X)+d(B,X)=d(A,B) \) si y sólo si \( x\in AB \)

Saludos.

27 Enero, 2022, 05:43 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Hola

Lo de las distancias funciona bien, siempre que sepas de antemano que el punto pertenece a la recta \[ AB \].

Funciona siempre, ¿no?:

\( d(A,X)+d(B,X)=d(A,B) \) si y sólo si \( x\in AB \)

Saludos.

Sí, claro, menudo lapsus. Gracias.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

27 Enero, 2022, 06:55 pm
Respuesta #6

jlopezfdez

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