Autor Tema: Cuádrica en espacio proyectivo

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28 Marzo, 2022, 11:07 am
Respuesta #10

geómetracat

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gracias! he repasado la cuestion de la interseccion con el el hiperplano impropio y he obtenido lo siguiente:

en al caso de hiperbolas en el espacio afin, observo que hay 2 puntos del infinito: \( (0:1: 0) \) y \( (1: 0: 0) \) para la forma degenerada \( Z^{2}+YX=0 \);
Bien, aunque no sé por qué llamas a eso "forma degenerada", sobre todo teniendo en cuenta que corresponde a una cónica no degenerada.

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tengo las siguientes dudas:

1-para el caso de la parabola en el espacio afin, observo el punto del infinito \( (0:1:0) \); pero en este caso, a diferencia del caso anterior, no comprendo el punto de vista geometrico de esta interseccion; en el caso de hiperbolas, tanto como cuando x es 0 como cuando "y" es 0, hay puntos del infinito y, geometricamente, hay asintotas; pero en el caso de la parabola, no veo el sentido geometrico.
Lo que pasa en el caso de la parabola es que en el plano proyectivo la cónica es tangente a la recta del infinito. Por tanto, tienes un único punto de intersección pero de orden \[ 2 \], en vez de dos puntos de intersección de orden \[ 1 \] como en el caso de la hipérbola. Esto acaba haciendo que la parábola no tenga asíntotas.

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2-en el caso de la forma degenerada resultante \( XY+XZ+YZ=0 \) creo que el punto del infinito podria ser \( (1:0:0) \); sin embargo, la forma afin resultante que obtengo al tomar como hiperplano impropio a \( z=0 \) es: \( y=\frac{x}{1+x} \); no se si esto es correcto, ni como se denomina a esa forma (funcion racional?) ni su lugar geometrico (creo ver que hay una asintota para \( y=0 \), asociada al punto del infinito antes dado (a medida que "y" se acerca a 0, "x" se acerca a \( \infty \)))
Esa ecuación corresponde a una hipérbola, que es no degenerada. Sus puntos en el infinito se obtienen (como siempre) haciendo \[ Z=0 \] para obtener \[ XY=0 \] y resolviendo, quedan que son \[ (1:0:0) \] y \[ (0:1:0) \]. La forma afín es \[ xy+x+y=0 \], que se puede reescribir como \[ y=-\frac{x}{x+1} \]. Si quieres ver más claramente que la ecuación corresponde a una hipérbola, fíjate que puedes hacer \[ -\frac{x}{x+1} = -\frac{x+1-1}{x+1} = -1+\frac{1}{x+1} \]. Por tanto, esa cónica afín tiene ecuación \[ y+1=\frac{1}{x+1} \], que corresponde a la hipérbola \[ y=\frac{1}{x} \] trasladada por el vector \[ (-1,-1) \].

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3-dado que se supone que estas formas serian proyectivamente equivalentes, esto significa que existen matrices tales que se podria ir de una forma a otra, en tanto dichas matrices modifiquen las matrices originales que generan las formas en cuestion? o bien, la matrices asociadas a cada una de las formas, se pueden multiplicar entre si (forman un subgrupo?)?
Que dos cónicas proyectivas sean proyectivamente equivalentes quiere decir que existe una proyectividad que lleva una a la otra. En términos de sus matrices, si \[ A,B \] son matrices de las dos cónicas, que sean proyectivamente equivalentes quiere decir que existe una matriz \[ P \] invertible y un escalar no nulo \[ \alpha \] tales que \[ A = \alpha P^TBP \].

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4-tales matrices se podrian llamar canonicas (en tanto que generan las distintas formas proyectivas canonicas)?
Yo nunca las he visto con ese nombre.

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5-para el caso de cuadricas en \( \mathbb{P^{3}} \), se podria hacer un analisis analogo respecto de los hiperplanos tangentes?
Sí, puedes hacer un análisis parecido para el caso general de cuádricas en \[ \Bbb P^n \]. Lo que pasa es que cuando vas subiendo de dimensión hay más casuística, pero esto está muy bien estudiado y lo encontrarás en libros de geometría proyectiva.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

28 Marzo, 2022, 08:57 pm
Respuesta #11

athairdos

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gracias!

tengo otras dudas sobre el tema;

1-pense que la degeneracion de las formas se relacionaba con la singularidad de las matrices de las mismas: sin embargo, ahora veo que tal vez la singularidad de la matriz podria tener sentido para un espacio vectorial ordinario y no para un espacio proyectivo (?) no se tampoco si la degeneracion tendria que ver con las caracteristicas de los vectores propios y valores propios de la matriz de la forma (?)

2-respecto del punto del infinito \( (0:1:0) \) para la forma parabolica, no alcanzo a entender el tema de la interseccion con la parabola en el plano \( z=1 \); solo se me ocurre que el punto del infinito sea la traslacion al plano \( z=1 \) del eje "y" en el plano \( z=0 \), con lo cual se tendria que el mismo corta a la parabola (en vez de ser tangente). (?)

3-respecto del orden del punto de interseccion en cuestion (con la parabola), me pregunto si tiene relacion con el hecho de que la submatriz de 2x2 \( \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} \) tiene rango 1, a diferencia de la submatriz \( \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} \) respectiva para el caso de la forma hiperbolica, cuyo rango es 2: si se resta la dimension en cuestion en cada caso al numero n=3 correspondiente al numero de filas-columnas de la matriz de la forma, se obtiene 2 para el caso de la parabola y 1 para el caso de la hiperbola. (?)

gracias, saludos


29 Marzo, 2022, 11:43 am
Respuesta #12

geómetracat

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1-pense que la degeneracion de las formas se relacionaba con la singularidad de las matrices de las mismas: sin embargo, ahora veo que tal vez la singularidad de la matriz podria tener sentido para un espacio vectorial ordinario y no para un espacio proyectivo (?) no se tampoco si la degeneracion tendria que ver con las caracteristicas de los vectores propios y valores propios de la matriz de la forma (?)
Sí, la degeneración tiene que ver con el rango de la matriz de la cónica (o cuádrica, más en general). Una cuádrica es no degenerada si su matriz tiene rango máximo. Entonces, por ejemplo, a la cónica \[ Z^2+YX=0 \] le corresponde la matriz
\[
\begin{bmatrix}
{0}&{1/2}&{0}\\
{1/2}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{1}
\end{bmatrix} \]
que tiene rango \[ 3 \]. Por tanto, es no degenerada.

En cambio, a la cónica de ecuación \[ X^2-Y^2=0 \] le corresponde la matriz
\[
\begin{bmatrix}
{1}&{0}&{0}\\
{0}&{-1}&{0}\\
{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}
 \]
que tiene rango 2, y por tanto la cónica es degenerada (geométricamente es un par de rectas distintas).
Todavía puedes tener cónicas más degeneradas, como \[ X^2=0 \], que corresponde geométricamente a una recta doble, y es tal que su matriz asociada tiene rango 1.

Usando álgebra lineal lo puedes relacionar también con los valores propios de la matriz: la cuádrica es no degenerada si y solo si \[ 0 \] no es valor propio de la matriz.

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2-respecto del punto del infinito \( (0:1:0) \) para la forma parabolica, no alcanzo a entender el tema de la interseccion con la parabola en el plano \( z=1 \); solo se me ocurre que el punto del infinito sea la traslacion al plano \( z=1 \) del eje "y" en el plano \( z=0 \), con lo cual se tendria que el mismo corta a la parabola (en vez de ser tangente). (?)
Me parece que te estás complicando la vida. Si tienes una parábola en el plano proyectivo, por ejemplo de ecuación \[ YZ-X^2=0 \], y quieres ver la intersección con la recta del infinito, haces \[ Z=0 \] y resuelves: \[ X^2=0 \] luego \[ X=Z=0 \] y te queda como único punto solución \[ Y=(0:1:0) \]. Si quieres encontrar la ecuación de la cónica en el plano afín, deshomogeneizas la ecuación haciendo \[ x=X/Z \] e \[ y = Y/Z \] y te queda \[ y=x^2 \]. Lo de la intersección con el plano \[ Z=1 \] es esencialmente lo mismo que deshomogeneizar. Es decir, consideras que tu plano afín es el plano \[ Z=1 \] en un espacio vectorial tridimensional con coordenadas \[ (X,Y,Z) \].

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3-respecto del orden del punto de interseccion en cuestion (con la parabola), me pregunto si tiene relacion con el hecho de que la submatriz de 2x2 \( \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} \) tiene rango 1, a diferencia de la submatriz \( \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} \) respectiva para el caso de la forma hiperbolica, cuyo rango es 2: si se resta la dimension en cuestion en cada caso al numero n=3 correspondiente al numero de filas-columnas de la matriz de la forma, se obtiene 2 para el caso de la parabola y 1 para el caso de la hiperbola. (?)
Sí, la diferencia tiene que ver con el rango de la matriz asociada a la "cónica del infinito", es decir, la intersección de la cónica con la recta del infinito, que si tomas como recta del infinito la \[ Z=0 \], la matriz de esta cónica del infinito es la submatriz 2x2 asociada a las variables \[ X,Y \]. De hecho, sobre los complejos una cuádrica afín queda completamente clasificada (salvo equivalencias afines) por el rango de su matriz y el rango de la matriz de la cuádrica en el infinito. En el caso real es un poquito más complicado, pero no demasiado.


Como comentario general, ¿estás siguiendo algún libro para esto? Me da la sensación de que muchas de tus dudas se resolverían si te estudiaras un libro decente de geometría proyectiva, donde todo esto de la clasificación proyectiva y afín de cuádricas esté bien hecho.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Marzo, 2022, 06:24 am
Respuesta #13

athairdos

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Gracias! En otro.mensaje comentare sobre el material de estudio; ahora me interesaría preguntar sobre el caso de la ecuación \( x^{2}=0 \);

1-el.hecho.de que represente una recta doble, cómo se podría explicar (geometricamente, etc.)?

2-la duplicidad de la recta en cuestión se puede relacionar con la cuestion de una raíz (de un polinomio; característico, por ej.) con multiplicidad=2?

3-la multiplicidad de una raíz se relaciona con la dimension de (un subespacio a partir de) una base de covectores?

4-una recta doble podria ser (en el caso de) una recta como \( x=0 \) que, en \( \mathbb{R^{3}} \), se puede considerar recta de los planos \( XZ \) y \( XY \) (es decir, la interseccion de los mismos)?

Gracias

30 Marzo, 2022, 08:43 am
Respuesta #14

geómetracat

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1-el.hecho.de que represente una recta doble, cómo se podría explicar (geometricamente, etc.)?
A este nivel no se puede explicar geométricamente, solo algebraicamente. Es doble porque te sale su ecuación al cuadrado, es decir, tienes \[ X^2=0 \] en vez de \[ X=0 \] (la recta "simple"). Geométricamente quizás la mejor manera de pensarlo, aunque sea a nivel intuitivo, es que es el caso degenerado que obtienes a partir de dos rectas distintas que se cortan en un punto (que es una cónica degenerada) cuando las vas moviendo hasta que se solapan. Como lo que has obtenido es límite de dos rectas, aunque acabes con una única recta, puedes decir que tiene multiplicidad 2.
Pero como conjunto de puntos del espacio proyectivo una recta doble es indistinguible de la recta (simple).

Hay teorías más sofisticadas donde sí se puede distinguir la recta simple de la doble a nivel geométrico, pero esto sería irse por los cerros de Úbeda.

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2-la duplicidad de la recta en cuestión se puede relacionar con la cuestion de una raíz (de un polinomio; característico, por ej.) con multiplicidad=2?
Como dije antes es de multiplicidad dos porque aparece con grado \[ 2 \] en la ecuación \[ X^2=0 \]. Piensa que cualquier cónica tiene grado \[ 2 \], por tanto si geométricamente te queda una única recta (que por sí sola tiene grado \[ 1 \]), necesariamente debe tener multiplicidad \[ 2 \] para que corresponda a una cónica.

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3-la multiplicidad de una raíz se relaciona con la dimension de (un subespacio a partir de) una base de covectores?
Esto no lo entiendo muy bien, aunque sospecho que la respuesta es no.

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4-una recta doble podria ser (en el caso de) una recta como \( x=0 \) que, en \( \mathbb{R^{3}} \), se puede considerar recta de los planos \( XZ \) y \( XY \) (es decir, la interseccion de los mismos)?
No. A nivel geométrico es imposible distinguir una recta simple de una doble. Es doble porque en su ecuación aparece al cuadrado. La recta \[ X=0 \] es una recta simple, normal y corriente. Es decir, ser doble (o más en general, la multiplicidad de una hipersuperfície) depende exclusivamente de su ecuación, y es imposible detectarlo a nivel geométrico como conjunto de puntos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Marzo, 2022, 03:48 pm
Respuesta #15

athairdos

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gracias! hay un tema que no termino de comprender y que me ayudaria a entender lo anterior (en parte vinculado a la clasificacion, etc); es parte del analisis para la clasificacion (de colineaciones) que se hace en el libro (de Santalo);

si para una raiz caracteristica \( \lambda_{i} \) dada, el rango de la matriz \( A-\lambda_{i}I \) es 2, entonces la raiz es simple: mientras que si el rango es 1, entonces la raiz es doble; y si el rango es 0, entonces la raiz es triple?

yo diria que la respuesta es "si"; sin embargo, atendiendo a las confusiones que el tema me genera, no puedo descarcar la posibilidad de que la respuesta sea "no" (o al menos, que dependa de otras condiciones...).

gracias, saludos


30 Marzo, 2022, 08:10 pm
Respuesta #16

geómetracat

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si para una raiz caracteristica \( \lambda_{i} \) dada, el rango de la matriz \( A-\lambda_{i}I \) es 2, entonces la raiz es simple: mientras que si el rango es 1, entonces la raiz es doble; y si el rango es 0, entonces la raiz es triple?

Supongo que aquí estás suponiendo que \[ A \] es una matriz \[ 3 \times 3 \]. La respuesta es no. A \[ \dim Ker(A-\lambda_i I) = n - \dim rg(A - \lambda_i I) \] (donde \[ n \] es la dimensión de la matriz) se le llama multiplicidad geométrica del valor propio \[ \lambda_i \], mientras que al exponente con que aparece \[ (x-\lambda_i) \] en el polinomio característico se le llama la multiplicidad algebraica de \[ \lambda_i \]. En general estas no tienen por qué coincidir, aunque la multiplicidad geométrica siempre es menor o igual que la multiplicidad algebraica. Es un teorema clásico de álgebra lineal que las multiplicidades coinciden para todos los valores propios si y solo si la matriz es diagonalizable.

Un ejemplo. Considera la matriz:
\[ A=
\begin{bmatrix}
{1}&{1}&{0}\\
{0}&{1}&{1}\\
{0}&{0}&{1}
\end{bmatrix} \]
El \[ 1 \] es el único valor propio de esta matriz. El polinomio característico es \[ p(x)=(x-1)^3 \], luego \[ 1 \] tiene multiplicidad algebraica \[ 3 \]. Sin embargo el rango de \[ A - I \] es \[ 2 \], luego su multiplicidad geométrica es \[ 3-2=1 \].

Todo esto es una parte muy clásica (e importante) del álgebra lineal. Si tienes este tipo de dudas quizás te vendría bien repasar de algún libro de álgebra lineal los temas de diagonalización de endomorfismos y forma de Jordan, porque es bastante importante en geometría lineal y proyectiva.

Otra cosa, no sé si ha quedado suficientemente claro, pero esto de las raíces triples, dobles o simples del polinomio característico de una matriz no tiene nada que ver con lo de la multiplicidad de la recta de antes. El hecho de que salga una recta doble es porque las cónicas son curvas algebraicas de grado \[ 2 \]. Y en cierta manera es una "casualidad" que las cuádricas se puedan estudiar con técnicas de álgebra lineal. Esto acaba siendo porque hay una correspondencia entre cuádricas y formas bilineales. Pero las curvas algebraicas de grado mayor que \[ 2 \] ya no se pueden estudiar con técnicas de álgebra lineal, de manera que por ejemplo una "recta triple" no se corresponde con ninguna matriz.
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03 Abril, 2022, 04:28 am
Respuesta #17

athairdos

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Gracias! Tengo varias cosas para estudiar y repasar; mientras, tengo unas preguntas adicionales elementales (no obstante que para mí tocan cuestiones que antes desconocia en su totalidad);

1-Para una variedad en \( \mathbb{P^{2}} \) como \( X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0 \), se tiene una variedad afín elíptica como \( x^{2}+y^{2}=1 \) y un hiperplano impropio vinculado con-por la ecuación \( x^{2}+y^{2}=0 \). El que los puntos impropios de la forma no tengan intersección con la variedad (afín) se explica por el hecho de que la última ecuación tiene 2 raíces complejas; ergo, constituyen una recta (impropia) compleja (a partir de 2 vectores complejos)?

2-En el caso de una variedad afin hiperbólica, en relación a la cual existen 2 puntos de intersección con la recta impropia: ambos son reales y determinan una recta real?

3-El que en ambos casos anteriores haya 2 puntos impropios, en un caso complejos y en otro reales, es lo que otorga cierto parentesco a la elipse y a la hiperbola?

Saludos

03 Abril, 2022, 09:05 am
Respuesta #18

Luis Fuentes

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Hola

1-Para una variedad en \( \mathbb{P^{2}} \) como \( X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0 \), se tiene una variedad afín elíptica como \( x^{2}+y^{2}=1 \) y un hiperplano impropio vinculado con-por la ecuación \( x^{2}+y^{2}=0 \). El que los puntos impropios de la forma no tengan intersección con la variedad (afín) se explica por el hecho de que la última ecuación tiene 2 raíces complejas; ergo, constituyen una recta (impropia) compleja (a partir de 2 vectores complejos)?

Si; aunque es algo raro como lo redactas. La elección de la recta del infinito es independiente de la ecuación de la cónica proyectiva.

Entonces si tienes la cónica proyectiva real \( X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0 \) y tomas una realización afín con recta del infinito \( z=0 \), entonces su ecuación afín en una determinada referencia ciertamente es \( x^2+y^2=1 \) y se trata de una elipse. La recta del infinito no corta en puntos reales a la ecuación proyectiva de la cónica.

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2-En el caso de una variedad afin hiperbólica, en relación a la cual existen 2 puntos de intersección con la recta impropia: ambos son reales y determinan una recta real?

Si para la MISMA ecuación de antes escoges como recta del infinito \( y=0 \), su realización afín viene dada por la ecuación:

\( z^2-x^2=1 \)

y se trata de una hipérbola. En este caso la recta del infinito corta a la cónica proyectiva en dos puntos y de ahí que la realización afín tenga dos asíntotas y sea una hipérbola.

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3-El que en ambos casos anteriores haya 2 puntos impropios, en un caso complejos y en otro reales, es lo que otorga cierto parentesco a la elipse y a la hiperbola?

El parentesco viene de que proyectivamente son la misma cónica y lo que diferencia a la elipse de la hipérbola es su realización afín.

De igual forma si uno toma como recta del infinito una tangente a la MISMA cónica proyectiva la realización afín sería una parábola. En ese caso la recta del infinito cortaría en un único punto doble, que corresponde a la única dirección asintótica de la parábola afín.

Saludos.

27 Abril, 2022, 03:13 am
Respuesta #19

athairdos

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Si; aunque es algo raro como lo redactas. La elección de la recta del infinito es independiente de la ecuación de la cónica proyectiva

Gracias;  en relación a esa cuestión me ha surgido una nueva duda, que escribo a continuación:

Para 2 formas cuadráticas proyectivamente equivalentes en un espacio proyectivo dado \( \mathbb{P^{n}} \), de modo que existe una transformación proyectiva que multiplica a la transformacion inicial asociada a la forma inicial: cuál es la relación entre los polinomios característicos de ambas transformaciones? Cómo se puede determinar dicha relación (así como una relación entre las ecuaciones caracteristicas, etc.), si es que existe alguna relación definida ó conocida a priori?

Gracias;  un saludo.