Autor Tema: Cuádrica en espacio proyectivo

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28 Septiembre, 2021, 12:52 am
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athairdos

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Hola; tengo la siguiente duda (sobre un ej. del libro):

La pregunta del libro es qué representa la cónica proyectiva \( x^{2}=2yz \) en el plano afín, si la recta del infinito \( z=0 \) está excluida(?).

Es correcto.rescribir la conica.como:

\( \begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=0 \) ?

Mas alla de.eso, es correcto lo.siguiente:

Si se excluye la recta del infinito \( z=0 \), se pueden tomar coordenadas no homogeneas dividiendo por \( z \); en la forma \( x'=\frac{x}{z} \) y \( y'=\frac{y}{z} \); con lo cual se obtiene (la ecuacion de) una parábola:

\( x'^{2}-2y'=0 \); es decir \( y'=\frac{1}{2}x'^{2} \).

Dicha parábola seria el resultado (sobre el espacio afín) de excluir la recta del infinito del espacio proyectivo inicial.

Es esto correcto?

Gracias; saludos.

28 Septiembre, 2021, 08:58 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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\( x'^{2}-2y'=0 \); es decir \( y'=\frac{1}{2}x'^{2} \). Dicha parábola seria el resultado (sobre el espacio afín) de excluir la recta del infinito del espacio proyectivo inicial. Es esto correcto?

Es correcto. Además, haciendo \( z=0 \) en \( x^2=2yz \) obtenemos las soluciones \( (0,\lambda,0) \) con \( \lambda\ne 0 \) punto del infinito que nos da la dirección del eje de la parábola: vector \( (0,1) \).

29 Septiembre, 2021, 03:16 am
Respuesta #2

athairdos

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Gracias! Para obtener un paraboloide en vez de una parábola habria que pasar necesariamente a un espacio proyectivo de dim=3; \( \mathbb{P^{3}} \)?

Saludos

29 Septiembre, 2021, 09:02 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Gracias! Para obtener un paraboloide en vez de una parábola habria que pasar necesariamente a un espacio proyectivo de dim=3; \( \mathbb{P^{3}} \)?

Evidentemente si en lugar de cónicas, quieres cuádricas estás son superficies del plano proyectivo tridimensional.

Por ejemplo si en la cuádrica proyectiva:

\( 2zt=x^2+y^2 \)

te quedas con la restricción afín que tiene como recta del infinito \( t=0 \), la superficie afín obtenida es un paraboloide elíptico:

\( 2z=x^2+y^2 \)

Saludos.

29 Septiembre, 2021, 08:32 pm
Respuesta #4

athairdos

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Ok! Gracias! Tengo algunas preguntas adicionales, que hare en otros hilos; saludos.

22 Marzo, 2022, 06:13 pm
Respuesta #5

athairdos

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Hola; tengo la siguiente duda (sobre un ej. del libro):

La pregunta del libro es qué representa la cónica proyectiva \( x^{2}=2yz \) en el plano afín, si la recta del infinito \( z=0 \) está excluida(?).

Es correcto.rescribir la conica.como:

\( \begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=0 \) ?

Mas alla de.eso, es correcto lo.siguiente:

Si se excluye la recta del infinito \( z=0 \), se pueden tomar coordenadas no homogeneas dividiendo por \( z \); en la forma \( x'=\frac{x}{z} \) y \( y'=\frac{y}{z} \); con lo cual se obtiene (la ecuacion de) una parábola:

\( x'^{2}-2y'=0 \); es decir \( y'=\frac{1}{2}x'^{2} \).

Dicha parábola seria el resultado (sobre el espacio afín) de excluir la recta del infinito del espacio proyectivo inicial.

Es esto correcto?

Gracias; saludos.

Hola; me surgio una duda en relacion a este ejercicio sobre el que hiciera algunas preguntas anteriormente.

En el enunciado del ejercicio se pregunta sobre una conica en el espacio proyectivo vs en el espacio afín (i.e despues de excluir un hiperplano impropio); me surgio la duda respecto de porqué no es necesario en el enunciado, aclarar la cuestión de si el espacio proyectivo es real o complejo (como al parecer sería el caso...)(?).

Dicho de otro modo: el resultado es independiente (ó se cumple independientemente) de si se trata de un plano \( \mathbb{P^{2}} \) real o complejo?

Gracias; saludos

23 Marzo, 2022, 08:30 am
Respuesta #6

geómetracat

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En este caso da lo mismo que sea real o complejo. Los cálculos sirven igual para cualquier cuerpo. Lo único que podría cambiar es la clasificación de la cónica, porque sobre los complejos hay menos tipos de cónicas que sobre los reales (por ejemplo, una elipse y una hipérbola son cónicas no afinmente equivalentes en el caso real pero sí son afinmente equivalentes en el caso complejo). Con las parábolas no hay este problema.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Marzo, 2022, 09:39 pm
Respuesta #7

athairdos

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Gracias! Me surgen otras dudas adicionales; por ej.: qué ocurre si se eligiera un hiperplano imoropio en torno a la variable x (en torno al punto \( X \)...)?

En relacion a eso, se me ocurre la posibilidad de tener que analizar el caso de hiperplanos disjuntos vs hiperlanos.no disjuntos (la dimension total de lo cual, en ambos casos, deberia ser igual a la de \( \mathbb{P^{2}} \) o \( \mathbb{R^{3}} \))(?).

No sé como se resuelve esta cuestion...Saludos

23 Marzo, 2022, 09:57 pm
Respuesta #8

geómetracat

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No sé si te entiendo bien. ¿Quieres decir que tomas como recta en el infinito la recta \[ x=0 \]?
Entonces para deshomogeneizar y obtener la ecuación de la cónica en el plano afín obtenido a partir del proyectivo quitando la recta \[ x=0 \], haces el cambio \[ y'=y/x, z'=z/x \], y te queda la ecuación \[ y'z'=\frac{1}{2} \]. Si estás sobre los reales es la ecuación de una hipérbola en el plano afín (real) con coordenadas \[ y',z' \]. Si el plano es complejo pues lo mismo, solo que ahora puedes decir que es una elipse compleja, pues sobre los complejos no hay diferencia (afín) entre elipses e hipérbolas.

En relacion a eso, se me ocurre la posibilidad de tener que analizar el caso de hiperplanos disjuntos vs hiperlanos.no disjuntos (la dimension total de lo cual, en ambos casos, deberia ser igual a la de \( \mathbb{P^{2}} \) o \( \mathbb{R^{3}} \))(?).

Esto no lo entiendo. ¿Qué hiperplanos disjuntos o no disjuntos? ¿O te refieres a un hiperplano disjunto de la cónica? Sobre esto último, no se si sabes lo siguiente, pero creo que es importante y muy útil aquí. En el plano proyectivo real, una cónica proyectiva no degenerada da lugar a una elipse afín si la recta del infinito no corta a la cónica, una parábola si es tangente (corta en un punto) y una hipérbola si corta en dos. Sobre los complejos el caso disjunto no existe: toda recta corta la elipse en al menos un punto, por lo que solo hay dos casos: elipses/hipérbolas y parábolas.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

28 Marzo, 2022, 06:26 am
Respuesta #9

athairdos

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gracias! he repasado la cuestion de la interseccion con el el hiperplano impropio y he obtenido lo siguiente:

en al caso de hiperbolas en el espacio afin, observo que hay 2 puntos del infinito: \( (0:1: 0) \) y \( (1: 0: 0) \) para la forma degenerada \( Z^{2}+YX=0 \);

tengo las siguientes dudas:

1-para el caso de la parabola en el espacio afin, observo el punto del infinito \( (0:1:0) \); pero en este caso, a diferencia del caso anterior, no comprendo el punto de vista geometrico de esta interseccion; en el caso de hiperbolas, tanto como cuando x es 0 como cuando "y" es 0, hay puntos del infinito y, geometricamente, hay asintotas; pero en el caso de la parabola, no veo el sentido geometrico.

2-en el caso de la forma degenerada resultante \( XY+XZ+YZ=0 \) creo que el punto del infinito podria ser \( (1:0:0) \); sin embargo, la forma afin resultante que obtengo al tomar como hiperplano impropio a \( z=0 \) es: \( y=\frac{x}{1+x} \); no se si esto es correcto, ni como se denomina a esa forma (funcion racional?) ni su lugar geometrico (creo ver que hay una asintota para \( y=0 \), asociada al punto del infinito antes dado (a medida que "y" se acerca a 0, "x" se acerca a \( \infty \)))

3-dado que se supone que estas formas serian proyectivamente equivalentes, esto significa que existen matrices tales que se podria ir de una forma a otra, en tanto dichas matrices modifiquen las matrices originales que generan las formas en cuestion? o bien, la matrices asociadas a cada una de las formas, se pueden multiplicar entre si (forman un subgrupo?)?

4-tales matrices se podrian llamar canonicas (en tanto que generan las distintas formas proyectivas canonicas)?

5-para el caso de cuadricas en \( \mathbb{P^{3}} \), se podria hacer un analisis analogo respecto de los hiperplanos tangentes?

es esto correcto? gracias