[mgranadosgg]

Hola y gracias de antemano.

Quisiera pedir ayuda con el siguiente ejercicio

ENUNCIADO
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Clasificar los puntos del subconjunto \( C=\{(x,y)\in \mathbb {R}^2:  x^2+y^2\le 1,x \neq 0\} \).
Razonar si es abierto, cerrado, acotado o compacto.

[Luis Fuentes]

Hola

Clasificar los puntos del subconjunto \( C=\{(x,y)\in \mathbb {R}^2:  x^2+y^2\le 1,x \neq 0\} \).
Razonar si es abierto, cerrado, acotado o compacto.

Sería bueno que indicases que has intentado y que dudas concretas tienes.

Los conceptos de punto interior, frontera o adherencia son muy intuitivos, salvo quizá en conjuntos muy raros; entonces este tipo de problemas tiene una parte donde uno debería de ser capaz de "visualizar" los tipos de puntos del conjunto y otra para justificar que esa intuición es correcta.

En tu caso tu figura es un círculo con su borde al que hemos quitado un diámetro.

Comprueba que:

- Los puntos interiores son los del círculo menos el borde y el diámetro:

\( int(C)=\{(x,y)\in \Bbb R^2|x^2+y^2<1,\,x\neq 0\} \)

Para ello comprueba que en cualquiera de esos puntos puedes escoger una bola abierta contenida en el conjunto (hay alguna otra forma de probarlo también usando funciones continuas).

- Los puntos frontera son los de la circunferencia y el diámetro:

\( frontera(C)=\{(x,y)\in \Bbb R^2|x^2+y^2=1\}\cup \{(0,y)\in \Bbb R^2|-1\leq y\leq 1\} \)

Comprueba que toda bola centrada en uno de esos puntos corta al conjunto y a su complementario.

- La adherencia es la unión de los dos conjuntos anteriores.
- No tiene puntos aislados.

Saludos.

[mgranadosgg]

Hola.

Muchas gracias por responder y disculpa que no incluya una propuesta de solución.

Estoy completamente perdido con este ejercicio.

La bibliografía que estoy revisando es Cálculo Larson 9ªed.

Quisiera preguntar por alguna bibliografía donde se explique con detalle este tipo de ejercicios.

Adjunto los apuntes que he revisado.

[Luis Fuentes]

Hola

 Echa un vistazo a estos ejemplos:

http://www.eco.uc3m.es/docencia/matematicasii/apuntesyejercicios/hoja-2-sol.pdf

 De todas formas nunca te parapetes detrás del "no entiendo nada"; intenta especificar exactamente que no entiendes.

 Te he dado algunas sugerencias para resolver el ejercicio; empieza a leerlas; ante la primera que no entiendas pregunta, detallando al máximo la duda.

Saludos.

[mgranadosgg]

Hola y gracias de antemano.

comprobar que en cualquiera de esos puntos puedes escoger una bola abierta contenida en el conjunto

para el punto (0.5,0.5) y radio 1, es:

 ((0.5,0.5), 1)=d((0.7,0.7),(0.5,0.5)=(0.2,0.2)<1

¿Es correcto?

[Luis Fuentes]

Hola

comprobar que en cualquiera de esos puntos puedes escoger una bola abierta contenida en el conjunto

para el punto (0.5,0.5) y radio 1, es:

 ((0.5,0.5), 1)=d((0.7,0.7),(0.5,0.5)=(0.2,0.2)<1

No se muy bien que estás haciendo. Si estás trabajando para el conjunto:

\( int(C)=\{(x,y)\in \Bbb R^2|x^2+y^2<1,\,x\neq 0\} \)

La bola centrada en \[ (0.5,0.5) \] y radio 1 se sale fuera de él. Basta que hagas un dibujo. El conjunto es el círculo de centro origen y radio \[ 1 \]; si coges otro círculo de centro \( (0.5,0.5) \) y el mismo radio, claramente hay puntos que salen fuera del inicial. Tu tomas uno que no se sale pero habrá otros que si.

Comprueba que si tomas un punto \( (x_0,y_0)  \)en \( int(C) \) y un radio \( r=1-d((x_0,y_0),(0,0)) \), la bola \[ B((x_0,y_0),r) \] está dentro de \[ int(C) \].

Saludos.

[mgranadosgg]

Hola y gracias de antemano.

para el punto \begin{pmatrix}x_0,y_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.2,0.2\end{pmatrix}, que está dentro de Int\begin{pmatrix}C\end{pmatrix} y radio r=1-d\begin{pmatrix}0.2,0.2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0,0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.8,0.8\end{pmatrix} está en Int\begin{pmatrix}C\end{pmatrix}

¿Es correcto? Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

para el punto \begin{pmatrix}x_0,y_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.2,0.2\end{pmatrix}, que está dentro de Int\begin{pmatrix}C\end{pmatrix} y radio r=1-d\begin{pmatrix}0.2,0.2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0,0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.8,0.8\end{pmatrix} está en Int\begin{pmatrix}C\end{pmatrix}

¿Es correcto?

Buf. No entiendo muy bien que pretendes. Como te dije antes la comprobación la tienes que hacer para cualquier punto del conjunto candidato a interior, no para uno en concreto.

Aún más, incluso para ese punto \( (0.2,0.2) \) no sé lo que haces. Tomas \( r=1-d((0,0),(0.2,0.2)) \) y pones que es igual a \( (0.8,0.8) \) Eso no tiene sentido. Ese radio debe de ser un número, no unas coordenadas. En realidad:

\( r=1-d((0,0),(0.2,0.2))=1-\sqrt{0.2^2+0.2^2}=1-0.2\sqrt{2} \)

Saludos.

[mgranadosgg]

Hola y gracias.

Entonces es:

punto interior a la circunferencia:
Para el punto \( A=(0.2, 0.2) \), Int(C), y el radio \( r=1-d[(0.2,0.2)-(0,0)]=1-0.2\sqrt[ ]{2}=0.717157 \), la bola abierta de centro \( A \) y radio \( 0.717157 \), \( B(A,r) \), debe estar dentro de la circunferencia, de radio \( 1 \):

\( r=1-d[(0.2,0.2)-(0,0)]=1-\sqrt[ ]{(0.2)^2+(0.2)^2}=1-\sqrt[ ]{2.(0.2)^2}=1-(0.2)\sqrt[ ]{2}=0.717157 \)

La bola abierta \( B( (0.2,0.2), 0.717157) \) está dentro de la circunferencia.

Punto exterior a la circunferencia:
Para el punto \( D=(0.8, 0.8) \), que es un punto exterior a la circunferencia, y el radio \( r=1-d[(0.8,0.8)-(0,0)]=1-0.8\sqrt[ ]{2}=-0.131371 \), (tomamos el valor positivo porque es una distancia), la bola abierta de centro \( D \) y radio \( 0.131371 \), \( B(D,r) \), debe estar dentro de la circunferencia, de radio \( 1 \):

\( r=1-d[(0.2,0.2)-(0,0)]=1-\sqrt[ ]{(0.8)^2+(0.8)^2}=1-\sqrt[ ]{2.(0.8)^2}=1-(0.8)\sqrt[ ]{2}=-0.131371 \)

La bola abierta \( B( (0.8,0.8), 0.131371) \) está fuera de la circunferencia.


¿Es correcto? Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Hola y gracias.

Entonces es:

punto interior a la circunferencia:
Para el punto \( A=(0.2, 0.2) \), Int(C), y el radio \( r=1-d[(0.2,0.2)-(0,0)]=1-0.2\sqrt[ ]{2}=0.717157 \), la bola abierta de centro \( A \) y radio \( 0.717157 \), \( B(A,r) \), debe estar dentro de la circunferencia, de radio \( 1 \):

\( r=1-d[(0.2,0.2)-(0,0)]=1-\sqrt[ ]{(0.2)^2+(0.2)^2}=1-\sqrt[ ]{2.(0.2)^2}=1-(0.2)\sqrt[ ]{2}=0.717157 \)

La bola abierta \( B( (0.2,0.2), 0.717157) \) está dentro de la circunferencia.

Punto exterior a la circunferencia:
Para el punto \( D=(0.8, 0.8) \), que es un punto exterior a la circunferencia, y el radio \( r=1-d[(0.8,0.8)-(0,0)]=1-0.8\sqrt[ ]{2}=-0.131371 \), (tomamos el valor positivo porque es una distancia), la bola abierta de centro \( D \) y radio \( 0.131371 \), \( B(D,r) \), debe estar dentro de la circunferencia, de radio \( 1 \):

\( r=1-d[(0.2,0.2)-(0,0)]=1-\sqrt[ ]{(0.8)^2+(0.8)^2}=1-\sqrt[ ]{2.(0.8)^2}=1-(0.8)\sqrt[ ]{2}=-0.131371 \)

La bola abierta \( B( (0.8,0.8), 0.131371) \) está fuera de la circunferencia.

¿Es correcto? Gracias

Todo lo que afirmas es correcto; pero no entiendo del todo para que haces esto. Si es para familiarizarte con las ideas del asunto, me parece bien.

Pero para probar que el conjunto propuesto es el indicado tienes que hacer este tipo de comprobaciones en general y no para puntos concretos.

Por ejemplo, dado \( (x_0,y_0)\in D=\{(x,y)\in \Bbb R^2|x^2+y^2<1,\,x\neq 0\} \) tomamos \( r=min\{|x_0|,1-d((x_0,y_0),(0,0)\} \).

Veamos que \( B((x_0,y_0),r)\subset C. \)

Dado \( (x,y)\in B((x_0,y_0),r) \) se tiene:

1) \( |x_0|\leq |x-x_0|+|x|\quad \Rightarrow{}\quad |x|\geq |x_0|-|x-x_0|\geq |x_0|-d((x_0,y_0),(x,y))>|x_0|-r\geq |x_0|-|x_0|=0  \). Por tanto \( x_0\neq 0 \).
2) \( d((x,y),(0,0))\leq d((x,y),(x_0,y_0))+d((x_0,y_0),(0,0))< r+d((x_0,y_0),(0,0))\leq 1-d((x_0,y_0),(0,0))+d((x_0,y_0),(0,0))=1 \)

De ambas cosas se deduce que \( (x.y)\in C \).

Para completar la prueba de que \( int(C)=D=\{(x,y)\in \Bbb R^2|x^2+y^2<1,\,x\neq 0\} \) hay que ver que si \( (x,y)\in C \) con \( x^2+y^2=1 \) entonces \( (x,y)\not\in int(C) \). Para ello comprueba que en cualquier bola centrada en uno de esos puntos hay otros fuera de \( C \).

Saludos.