INTENTO DE DEMOSTRACIÓN DE LA CONJETURA DE FIROOZBAKHT
Por el postulado de Bertrand \( p_n<p_{n+1}<2\cdot{}p_n \) \( \forall{n}\in{}\mathbb{N} \).
Dividiendo la expresión entre \( p_n \) tenemos que:
\( 1<({\frac{p_{n+1}}{p_n}})<2 \)
Elevando esta expresión a \( n \) tenemos que:
\( 1^n=1<({\frac{p_{n+1}}{p_n}})^n<2^n \) \( \forall{n}\in{}\mathbb{N} \)
Por otra parte, \( 1<p_n\leq{2^n} \) \( \forall{n}\in{}\mathbb{N} \), cumpliéndose la desigualdad estricta para \( n>1 \).
Luego se tiene que cumplir alguna de las 2 siguientes situaciones:
A) \( 1<p_n< ({\frac{p_{n+1}}{p_n}})^n<2^n \) \( \forall{n}\in{}\mathbb{N} \)-{1}
B) \( 1< ({\frac{p_{n+1}}{p_n}})^n <p_n<2^n \) \( \forall{n}\in{}\mathbb{N} \)-{1}
La situación
A) no es posible porque \( p_2= 3 \) y \( (\displaystyle\frac{p_3}{p_2})^2=(5/3)^2 <3 \) y la situación
B) nos lleva a lo siguiente:
Sacamos la raíz n-ésima a la desigualdad:
\( \sqrt[n]{1}=1< {\frac{p_{n+1}}{p_n}}< \sqrt[n]{p_n}<2=\sqrt[n]{2^n} \) \( \forall{n}\in{}\mathbb{N} \)-{1}
De los términos centrales de la desigualdad, despejamos \( p_n \) y tenemos que:
\( p_{n+1} < p_n \cdot{} \sqrt[n]{p_n} \) \( \forall{n}\in{}\mathbb{N} \)-{1}
Sacando la raíz n+1-ésima a la expresión, tenemos el enunciado de la conjetura de Firoozbakht.
¿FIN?
Nota: la conjetura se cumple también para \( n=1 \) ya que \( p_1=2> \sqrt[ ]{3}\approx{} 1.73 \)
Como se puede leer en "SOME CONSEQUENCES OF THE FIROOZBAKHT’S CONJECTURE" de LUAN ALBERTO FERREIRA y HUGO LUIZ MARIANO, la conjetura de Firoozbakht implica las conjeturas de Andrica, Oppermann y Legendre.
https://arxiv.org/abs/1604.03496v2Saludos.
