Autor Tema: Obtención de una recta l que corte a una recta dada en un único punto [R³]

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30 Julio, 2011, 01:06 am
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damianiq

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Hola, quisiera que le echen un ojo a lo que hice con este ejercicio:

Bueno me dan una recta definida como

\( r{:} (x,y,z)=(\displaystyle\frac{5}{2},\displaystyle\frac{7}{2},0)+t\cdot(\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{2},1) \)

Me pide que encuentre una recta \( l \) que la corte en un único punto, lo que yo hice fue, tomar un punto perteneciente a la recta enunciada y luego elegir un vector director que no se pueda expresar como combinación lineal de la recta \( r \), para que no sean paralelas (y por tanto colineales). La recta \( l \) que "creé" fue esta:

\( l:(x',y',z')=(3,4,1)+t'\cdot(1,1,1) \)

El punto \( (3,4,1)\in{r} \)

¿He hecho bien?.
Gracias!

30 Julio, 2011, 01:48 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola damianiq,

 bastaba darse un punto de la recta (por ejemplo el mismo \( (5/2,7/2,0) \) )  y un vector director que no sea múltipli del vector director de la recta dada \( (1/2,1/2,1) \), por ejemplo el que tú te diste: \( (1,1,1) \).

Luego \( L:\quad (5/2,7/2,0)+t(1,1,1) \) también te sirve.


En tu razonamiento: las combinaciones lineales de dos puntos de la recta no siempre son elementos de la recta (una recta no es un espacio vectorial a menos que pase por el origen).

30 Julio, 2011, 01:58 am
Respuesta #2

damianiq

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Hola damianiq,

 bastaba darse un punto de la recta (por ejemplo el mismo \( (5/2,7/2,0) \) )  y un vector director que no sea múltipli del vector director de la recta dada \( (1/2,1/2,1) \), por ejemplo el que tú te diste: \( (1,1,1) \).

Luego \( L:\quad (5/2,7/2,0)+t(1,1,1) \) también te sirve.


En tu razonamiento: las combinaciones lineales de dos puntos de la recta no siempre son elementos de la recta (una recta no es un espacio vectorial a menos que pase por el origen).

Claro, no entendí bien lo que me has dicho sobre las combinaciones lineales de los puntos, lo que hice fue tomar un punto el cual yo ya estaba seguro que pertenecía a la recta \( r \) ,  mediante las ecuaciones paramétricas, que fue el que use como en la ecuación vectorial de \( l \) para asegurarme que ese punto tambien pertenezca a ella y que sea el punto de intersección entre las rectas.

Saludos!

30 Julio, 2011, 02:18 am
Respuesta #3

mathtruco

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¿Pero entendiste mi razonamiento?
Me parece que es más sencillo de lo que tratas de hacer.

Un detalle punto es distinto a un un vector (aunque ambos se denotan \( (a,b,c) \).

30 Julio, 2011, 02:36 am
Respuesta #4

aladan

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damianiq

La recta que das como solución es correcta, ese enunciado admite infinitas soluciones, lo que  mathtruco   te hace notar es el fondo conceptual de este párrafo

Citar
luego elegir un vector director que no se pueda expresar como combinación lineal de la recta \( r \) , para que no sean paralelas (y por tanto colineales).


aclarandote que el vector director de la recta a definir simplemente no debe ser paralelo al correspondiente al de \( r \).

Saludos
PD.- Solamente una observación más, ¿por qué usas coordenadas primas en la recta hallada?, sobran. debe ser

                     \( l:(x,y,z)=(3,4,1)+t'\cdot(1,1,1) \)

esa utilización apunta a alguna laguna conceptual.



Siempre a vuestra disposición

30 Julio, 2011, 02:50 am
Respuesta #5

damianiq

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¿Pero entendiste mi razonamiento?
Me parece que es más sencillo de lo que tratas de hacer.

Un detalle punto es distinto a un un vector (aunque ambos se denotan \( (a,b,c) \).

damianiq

La recta que das como solución es correcta, ese enunciado admite infinitas soluciones, lo que  mathtruco   te hace notar es el fondo conceptual de este párrafo

Citar
luego elegir un vector director que no se pueda expresar como combinación lineal de la recta \( r \) , para que no sean paralelas (y por tanto colineales).


aclarandote que el vector director de la recta a definir simplemente no debe ser paralelo al correspondiente al de \( r \).

Saludos
PD.- Solamente una observación más, ¿por qué usas coordenadas primas en la recta hallada?, sobran. debe ser

                     \( l:(x,y,z)=(3,4,1)+t'\cdot(1,1,1) \)

esa utilización apunta a alguna laguna conceptual.





mathtruco ahora que aladan me lo resaltó, lo que quise decir era lo mismo que me dijiste tú, sólo que cuando escribía se ve que se me enredaron las palabras o por mirar una que otra cosa en internet mientras redactaba se me pasó. Gracias ;)

aladan Sí, es que no estaba seguro si iban o no. Gracias por aclararlo, hace poco empecé con álgebra lineal, y como que tengo muchos conceptos metidos medios crudos, igual ahora ya termino con el capítulo y tendré que revisar todo de vuelta para aclarar todo.

Saludos!

30 Julio, 2011, 10:29 am
Respuesta #6

feriva

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Hola, damianiq. Otra forma es tomar el propio punto que te da esa recta y hallar la perpendicular que pasa por ese punto; montar la ecuación es prácticamente inmediato; y, en mi opinión, siempre que se pueda, es mejor no elegir puntos arbitrarios, sino tomar lo que te da el problema, a los profesores les suele gustar más (entre otras cosas porque les facilitas la labor de corrección, lo ven a la primera, no tienen que comprobar si el punto es de la recta o no, e igualmente se ve de manera inmediata que el vector es normal al de la recta).

Saludos.

31 Julio, 2011, 06:52 pm
Respuesta #7

mathtruco

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feriva:  Basta que el vector director de la nueva recta no sea paralelo al vector director de la recta (es decir, distinto de \( \alpha (1/2,1/2,1) \)). Lo que propones es algo un poco más complejo de lo necesario.

Con respecto al comentario de qué punto tomar, estoy 100% de acuerdo.

31 Julio, 2011, 08:01 pm
Respuesta #8

feriva

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feriva:  Basta que el vector director de la nueva recta no sea paralelo al vector director de la recta (es decir, distinto de \( \alpha (1/2,1/2,1) \)). Lo que propones es algo un poco más complejo de lo necesario.

Con respecto al comentario de qué punto tomar, estoy 100% de acuerdo.

Hola, mathtruco. Totalmente de acuerdo también, como no podía ser de otra forma, basta que el vector no sea paralelo.
 En cuanto a lo de elegir los puntos es que me había imaginado a un profesor corrigiendo este problema a cuarenta alumnos que habían elegido cada uno un punto arbitrario distinto (pobre profe  :D )

Saludos.