Autor Tema: Intersección de planos, cálculo de la ec. de la recta

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31 Julio, 2011, 10:12 am
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damianiq

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Hola, bueno empecé con el tema de planos, ya vi las formas de sus ecuaciones.
Tengo dudas respecto a la intersección de ellos.
Tengo estos dos planos:

\( \pi_{1}: \)  \( (x,y,z)=(0,1,1)+t\cdot(1,0,0)+s\cdot(0,1,0) \)

\( \pi_{2}: \) \( (x,y,z)=(2,2,-1)+t'\cdot(2,1,0)+s'\cdot(5,-1,2) \)

Verifiqué primeramente que no eran paralelos y luego calculé su intersección, (tuve que usar la ecuación paramétrica de 1 y reemplazar los valores de \( x_{1},x_{2},x_{3} \) en la ecuación cartesiana de la otra, luego obtuve 2 puntos de la recta y generé su ecuación vectorial) que me quedó:

\( r: \)  \( (x,y,z)=(9,2,1)+t''\cdot(2,1,0) \)

Bueno luego para verificar lo que hice fue ver si el punto \( (9,2,1) \) pertenecía a los 2 planos.

Mis cuestiones son:
1-¿Hay alguna forma de obtener la recta intersección por medio de las ecuaciones vectoriales directamente? (sin necesidad de "convertirlas" a paramétrica y cartesiana)
2-¿Alcanza con la verificación de que el punto (9,2,1) pertenece a ambos planos para saber si la recta es la correcta?
3-¿Está bien la notación doble prima para la "t" de la recta?

Gracias! :D

31 Julio, 2011, 10:32 am
Respuesta #1

feriva

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Hola, bueno empecé con el tema de planos, ya vi las formas de sus ecuaciones.
Tengo dudas respecto a la intersección de ellos.
Tengo estos dos planos:

\( \pi_{1}: \)  \( (x,y,z)=(0,1,1)+t\cdot(1,0,0)+s\cdot(0,1,0) \)

\( \pi_{2}: \) \( (x,y,z)=(2,2,-1)+t'\cdot(2,1,0)+s'\cdot(5,-1,2) \)

Verifiqué primeramente que no eran paralelos y luego calculé su intersección, (tuve que usar la ecuación paramétrica de 1 y reemplazar los valores de \( x_{1},x_{2},x_{3} \) en la ecuación cartesiana de la otra, luego obtuve 2 puntos de la recta y generé su ecuación vectorial) que me quedó:

\( r: \)  \( (x,y,z)=(9,2,1)+t''\cdot(2,1,0) \)

Bueno luego para verificar lo que hice fue ver si el punto \( (9,2,1) \) pertenecía a los 2 planos.

Mis cuestiones son:
1-¿Hay alguna forma de obtener la recta intersección por medio de las ecuaciones vectoriales directamente? (sin necesidad de "convertirlas" a paramétrica y cartesiana)
2-¿Alcanza con la verificación de que el punto (9,2,1) pertenece a ambos planos para saber si la recta es la correcta?
3-¿Está bien la notación doble prima para la "t" de la recta?

Gracias! :D

 Hola, damianiq.
1- Mi consejo es que no huyas de las paramétricas, para mí son las ecuaciones más útiles, están en el corazón de todas las demás; por los coeficientes de los parámetros se ven muy bien los vectores, también se puede estimar puntos con ellas, se analizan muy bien los subespacios...

2- Si un punto pertenece, a la vez, a dos planos que se cortan, tiene que pertenecer a la recta de intersección; por lo menos ahora, sin papel, sin dibujarlo, no veo otra posibilidad.

3- Para mí que lo suyo es usar subíndices (sub 1, sub 2...) pero quizá también se admita esa notación, no lo puedo asegurar.

Saludos.

31 Julio, 2011, 10:41 am
Respuesta #2

damianiq

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Cita de: feriva
2- Si un punto pertenece, a la vez, a dos planos que se cortan, tiene que pertenecer a la recta de intersección; por lo menos ahora, sin papel, sin dibujarlo, no veo otra posibilidad.

Claro pero eso no me asegura que el vector dirección de la recta sea el correcto ¿o sí?, creo debería tomar otro punto de la recta y también comprobar que pertenece a los dos planos, luego de eso upongo que me puedo asegurar totalmente que la recta que obtuve es la correcta.

Gracias por las otras 2 respuestas :)

Saludos

31 Julio, 2011, 11:41 am
Respuesta #3

feriva

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Claro pero eso no me asegura que el vector dirección de la recta sea el correcto ¿o sí?, creo debería tomar otro punto de la recta y también comprobar que pertenece a los dos planos, luego de eso upongo que me puedo asegurar totalmente que la recta que obtuve es la correcta.

Gracias por las otras 2 respuestas :)

Saludos

Bueno, naturalmente, en efecto para asegurar eso necesitas conocer un vector de la recta en cuestión

 Saludos.


31 Julio, 2011, 11:44 am
Respuesta #4

damianiq

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Claro pero eso no me asegura que el vector dirección de la recta sea el correcto ¿o sí?, creo debería tomar otro punto de la recta y también comprobar que pertenece a los dos planos, luego de eso upongo que me puedo asegurar totalmente que la recta que obtuve es la correcta.

Gracias por las otras 2 respuestas :)

Saludos

Bueno, naturalmente, en efecto para asegurar eso necesitas conocer un vector de la recta en cuestión

 Saludos.



Claro, bueno gracias.

Se ve que tengo un problema con este tipo de ejercicios donde tengo que usar ese método para la obtención de la intersección, porque a veces me da y otras no, prefiero pasar todo a cartesiano y resolver la matriz del sistema resultante :S.

Saludos

31 Julio, 2011, 11:50 am
Respuesta #5

feriva

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Claro pero eso no me asegura que el vector dirección de la recta sea el correcto ¿o sí?, creo debería tomar otro punto de la recta y también comprobar que pertenece a los dos planos, luego de eso upongo que me puedo asegurar totalmente que la recta que obtuve es la correcta.

Gracias por las otras 2 respuestas :)

Saludos

Bueno, naturalmente, en efecto para asegurar eso necesitas conocer un vector de la recta en cuestión

 Saludos.



Claro, bueno gracias.

Se ve que tengo un problema con este tipo de ejercicios donde tengo que usar ese método para la obtención de la intersección, porque a veces me da y otras no, prefiero pasar todo a cartesiano y resolver la matriz del sistema resultante :S.

Saludos

Me he expresado horriblemente antes, quería decir que para determinar un vector siempre vas a necesitar dos puntos; y dependiendo del tipo de problema los podrás obtener de una manera u otra, a veces te darán los dos puntos directamente, en otros casos tendrás dos rectas que se cortan y podrás hallar la intersección... pero no suelen hacerse demasiado difíciles estos problemas.

Saludos.

31 Julio, 2011, 01:50 pm
Respuesta #6

damianiq

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Claro pero eso no me asegura que el vector dirección de la recta sea el correcto ¿o sí?, creo debería tomar otro punto de la recta y también comprobar que pertenece a los dos planos, luego de eso upongo que me puedo asegurar totalmente que la recta que obtuve es la correcta.

Gracias por las otras 2 respuestas :)

Saludos

Bueno, naturalmente, en efecto para asegurar eso necesitas conocer un vector de la recta en cuestión

 Saludos.



Claro, bueno gracias.

Se ve que tengo un problema con este tipo de ejercicios donde tengo que usar ese método para la obtención de la intersección, porque a veces me da y otras no, prefiero pasar todo a cartesiano y resolver la matriz del sistema resultante :S.

Saludos

Me he expresado horriblemente antes, quería decir que para determinar un vector siempre vas a necesitar dos puntos; y dependiendo del tipo de problema los podrás obtener de una manera u otra, a veces te darán los dos puntos directamente, en otros casos tendrás dos rectas que se cortan y podrás hallar la intersección... pero no suelen hacerse demasiado difíciles estos problemas.

Saludos.

Gracias, logré entenderlos ;)