[Frahan]

Buenos días, acudo a vosotros como último recurso.
Me piden hallar \( \displaystyle\int_{\gamma}^{} \displaystyle\frac{-y}{4x^2+9y^2}dx + \frac{x}{4x^2+9y^2}dy  \) con \( \gamma =\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \gamma_3 \) siendo:
\( \bar{\gamma_1}(\lambda)=(1-\lambda,\lambda),~~~ 0 \leq \lambda\leq  5;\newline   \bar{\gamma_2}(\lambda)=(-4,-\lambda),~-5 \leq \lambda\leq  5;\newline  \bar{\gamma_3}(\lambda)=(1+\lambda,\lambda),~-5 \leq \lambda\leq  0; \)

Sé que es un camino cerrado, pero no hay ningún dominio simplemente conexo que contenga a los tres caminos para que me dé igual el camino seguido.
Cualquier indicio o pista para poder tirar del hilo la recibire gratamente.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días, acudo a vosotros como último recurso.
Me piden hallar \( \displaystyle\int_{\gamma}^{} \displaystyle\frac{-y}{4x^2+9y^2}dx + \frac{x}{4x^2+9y^2}dy  \) con \( \gamma =\gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \gamma_3 \) siendo:
\( \bar{\gamma_1}(\lambda)=(1-\lambda,\lambda),~~~ 0 \leq \lambda\leq  5;\newline   \bar{\gamma_2}(\lambda)=(-4,-\lambda),~-5 \leq \lambda\leq  5;\newline  \bar{\gamma_3}(\lambda)=(1+\lambda,\lambda),~-5 \leq \lambda\leq  0; \)

Sé que es un camino cerrado, pero no hay ningún dominio simplemente conexo que contenga a los tres caminos para que me dé igual el camino seguido.
Cualquier indicio o pista para poder tirar del hilo la recibire gratamente.

Tienes que hallar:

\( \displaystyle\int_{\gamma}f(x,y)dr \)

El campo:

\( f(x,y)=\left(\dfrac{-y}{4x^2+9y^2},\dfrac{x}{4x^2+9y^2}\right) \)

cumple que:

\( \dfrac{\partial f_2}{\partial x}-\dfrac{\partial f_1}{\partial y}=0 \)

y por tanto es conservativo en subconjuntos simplemente conexos de su dominio; o en otras palabras la integral de línea no depende del camino. Como consecuencia de esto la integral de línea sobre dos curvas cerradas simples que contenga a su única singularidad (el origen) es la misma.

Entonces la integral es la misma que sobre el camino elíptico:

\( \alpha(t)=(cos(t)/2,sin(t)/3)) \) con \( t\in [0,2\pi] \)

Con esto intenta concluir...

Saludos.