Para hablar de intuicionismo hay que agregar algo más concreto, porque acá muy pocos entendemos del tema (incluyéndome, claro está).
La siguiente imagen la he copiado de la página 156 del libro "
Perspectives on the History of Mathematical Logic", de T. Drucker.
Hay cosas muy graciosas que pasan sólo en esa página.
De tal suerte que, si bien no sé si concuerdo con los matemáticos clásicos, que serían los no-intuicionistas, parece que sí concuerdo en reírme a horcajadas de los intuicionistas.
El artículo habla sobre las interpretaciones de las conectivas lógicas para los axiomas lógicos intuicionistas.
Sabido es que para la lógica clásica, la interpretación de las conectivas son las tablas de verdad del Álgebra de Boole, que es algo muy simple de estudiar.
Con el intuicionismo la cosa es más complicada, y aparecen modelos topológicos.
Como quiera que sea, se supone que debiera haber alguna interpretación natural, aquella pretendida originalmente por los intuicionistas.
Pero lo gracioso y triste a la vez es que Brower, el principal referente de la lógica intuicionista, nunca se tomó el trabajo de explicitar esto,
como parece ser a esta altura la conducta acostumbrada de un lógico.
Luego Heyting se puso a hacer el trabajo duro, y abajo aparece explicado lo que significa que una proposición \(\phi\) sea
verdadera.
Ya el preludio me deja perplejo:
Dice que \(\phi\) se considerará verdadera si hay una prueba \(p\) (supongo que de \(\phi\)), que además cumple una lista de requisitos que vienen luego.
O sea, no sólo tiene que haber una prueba, sino que la prueba además debe satisfacer requisitos.
Primero que nada, está atando la verdad de una afirmación a la necesidad de que haya un procedimiento para probarla, lo cual es típicamente intuicionista, pero entonces es natural que luego se encuentren con cosas como tener que negar el Tercero Excluido.
En realidad está definiendo un concepto distinto al de ser "verdadero",
sino que es otra cosa, que podría llamarse "verdadero-demostrable-y-con-requisitos".
Me imagino que "falso", por ser la negación de "verdadero", tiene que tener una formulación análoga.
Y entonces todo lo demás sería "la-tercer-cosa-inentedible" (o sea, algo que no es ni intuicionísticamente-verdadero ni intuinísticamente-falso).
Dicho de otro modo, el intuicionista pretende ser no-binario, pero fácilmente se termina siéndolo, pues: una afirmación tiene un valor de verdad concreto (intuicionísticamente-verdadero o intuicionísticamente-falso) o bien no lo tiene.
En cualquier caso, pareciera que lo que hace ahí es meramente restringirse a trabajar con aquello que es "demostrable", o sea, sólo le interesan las proposiciones \(\phi\) a las que se pueda acompañar de una demostración.
Pero eso es demasiado restrictivo.
Yo puedo decir, por ejemplo:
\(\phi = \mbox{En el desierto del Sahara hay 2 trillones de granos de arena}\).
Esa afirmación es verdadera o es falsa, aún cuando no tenga los medios (aún) para demostrar una cosa o la otra.
Pero para el intuicionista, esa \( \phi\) no podría contar ni siquiera como afirmación, porque le falta la demostración \(p \) de ella o de su negación.
(Aunque a lo mejor es un desierto de Schrodinger).
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La interpretación de los conectivos lógicos dada en los puntos (1) a (5) hace explícita la interpretación de que ha de haber una prueba de cada operando,
y entonces lo que me parece que se está haciendo acá es una teoría de la "demostración", antes que una definición de "verdad".
Las demostraciones son procedimientos, y las verdades son hechos.
Nada garantiza que una afirmación pueda tener a mano una demostración concluyente de su valor de verdad, así que es natural que sean cosas distintas, que no entiende por qué se mezclan.
El punto (2) explica cómo interpretar el conectivo \(\vee\).
Dice que \(\phi \vee\psi\) es verdadera si (ojo):
hay un par \(n,q\), tales que
\(n\) es falso y \(q\) prueba \(\phi\)
ó\(n\) es verdadero y \(q\) prueba \(\psi\).
Esa palabreja:
ó¿será la disyunción "ó" de Aristótles, de Euclides, de Russell, de Hilbert, de Gödel, de Brower, o de quién?
Yo digo que no vale usar un "ó" del bando contrario.
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El punto (3) me deja atónito.
Dice que \(p\) demuestra \(\phi\to\psi\) si \(p\) es un par \(q,r\) tal que:
\(q\) es una construcción que convierte
cada demostración \(s\) de \(\phi\) en una demostración \(q(s)\) de \(\psi\),
y tal que \(r\) es una demostración de que \(q\) es una tal construcción.
Hallar \(r\) acá debe ser impresionantemente imposible para un intuicionista,
porque no se puede colar un "cada", ya que eso es lo mismo que
cuantificar en todos (o en "cada") demostración \(s\) de \(\phi\).
¿Puede honestamente un intuicionista hacer algo así, siguiendo sus propios principios?
¿Puede intuir todas las demostraciones \(s\) de \(\phi\)?
Del punto (4) no diré nada, porque es el típico principio intuicionista que exige evidencia de existencia de un objeto.
Y el punto (5) cuantifica alegremente sobre todo un dominio,
cosa que de nuevo es un acto mental que supera la mera intuición.
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Lo que me hizo reír es que esas mismas objeciones que se me iban ocurriendo mientras me pinchaban los ojos al tiempo que las leía,
resulta que aparecen en la misma página abajo,
como cuestionamientos de otros autores.
Y después aparece la respuesta de Brower:
"se los dije muchachos: no se puede confiar en el lenguaje formal, la matemática no se puede hacer así". Guiño, guiño.
Al final, el tal Brower es como un sabio que vive feliz en la montaña,
más allá de los problemas de los mortales corrientes,
y a veces se digna de opinar, de pasada, según lo que han trabajado otros,
incluso fatigados simpatizantes de sus ideas.
