Autor Tema: Leyes del algebra de conjuntos

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03 Julio, 2022, 06:59 am
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Zerok_Senpai

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Buenas tengo que resolver el siguiente ejercicio, no se ya como abordarlo

Sean \( A=\{x\in \mathbb{Z}:\exists n\in \mathbb{Z}(x=7n+2)\} \) y \( B=\{x\in \mathbb{Z}:\exists n\in \mathbb{Z}(x=7n-5)\} \). Probar que \(  A=B \).

Probar que: \(  A\times B=B\times A \Leftrightarrow A=B\,\lor\,  A= \varnothing \,\lor\,  B= \varnothing  \).

Y sea \( \{{A}_i\}_{i\in I} \) una familia indizada de conjuntos, probar que: \( \bigcap_{i\in I}(p(A_i))= p(\bigcap _{i\in I}(A_i)) \).

Todos estos enunciados son parámetros a buscar de los conjuntos base, no encuentro manera de resolverlo ya por mi cuenta, ya he intentado por leyes de conjuntos y por demostración directa y no logro obtener resultado, ¿es cosa mía o el ejercicio no tendrá solución? Cualquier orientación sería de mucha ayuda. También note que el ejercicio tendría solución si la variable \( n \) no fuera la misma en los dos conjuntos.


Moderación: corregido \( \LaTeX \) y ortografía.

03 Julio, 2022, 03:10 pm
Respuesta #1

Masacroso

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buenas tengo que resolver los ejercicios 1 y 3 que voy a dejar en imagenes, no encuentro manera de resolverlos por mi cuenta, ya he intentado por leyes de conjuntos y por demostracion directa y no logro obtener resultado, es cosa mia o el ejercicio no tendra solucion? el ej 2 si que pude solucionarlo pero igualmente lo voy a colocar por si les interesa verlo

Hola, en este foro hay una serie de reglas, entre ellas

1) Un tema por ejercicio o problema.

2) Los ejercicios deben estar escritos con \( \LaTeX \), las únicas imágenes que se permiten son de gráficos o dibujos, no de texto o fórmulas matemáticas. Tienes un tutorial de \( \LaTeX \) aquí. Y aquí tienes un editor de \( \LaTeX \) online para practicar.

3) Este foro no está pensado para resolverle los problemas a nadie sino más bien para ayudar u orientar en su resolución, para ello es de vital importancia al postear un ejercicio decir qué se ha intentado hacer para resolverlo para conocer qué dificultades se encuentran.

Por favor, adapta el tema a estas reglas y luego vamos viendo. Por cierto, aquí tienes el resto de reglas del foro.

05 Julio, 2022, 01:50 pm
Respuesta #2

Masacroso

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Buenas tengo que resolver el siguiente ejercicio, no se ya como abordarlo

Sean \( A=\{x\in \mathbb{Z}:\exists n\in \mathbb{Z}(x=7n+2)\} \) y \( B=\{x\in \mathbb{Z}:\exists n\in \mathbb{Z}(x=7n-5)\} \). Probar que \(  A=B \).

Probar que: \(  A\times B=B\times A \Leftrightarrow A=B\,\lor\,  A= \varnothing \,\lor\,  B= \varnothing  \).

Y sea \( \{{A}_i\}_{i\in I} \) una familia indizada de conjuntos, probar que: \( \bigcap_{i\in I}(p(A_i))= p(\bigcap _{i\in I}(A_i)) \).

Todos estos enunciados son parámetros a buscar de los conjuntos base, no encuentro manera de resolverlo ya por mi cuenta, ya he intentado por leyes de conjuntos y por demostración directa y no logro obtener resultado, ¿es cosa mía o el ejercicio no tendrá solución? Cualquier orientación sería de mucha ayuda. También note que el ejercicio tendría solución si la variable \( n \) no fuera la misma en los dos conjuntos.


Moderación: corregido \( \LaTeX \) y ortografía.

Son tres ejercicios diferentes. Respecto al primero, la \( n \) de la primera definición en \( A \) nada tiene que ver con la de la definición en \( B \), son variables que, de causalidad, se han representado con la misma letra, pero son variables diferentes ya que aparecen en definiciones de dos objetos matemáticos diferentes.

Cuando se quiere demostrar que dos conjuntos son iguales se suele hacer en dos partes, una es demostrando que si \( x\in A \) entonces \( x\in B \), y la otra haciendo lo contrario, demostrando que si \( x\in B \) entonces \( x\in A \). Espero que con esas indicaciones puedas terminarlo.

Para el segundo: demostrar que

\( \displaystyle{
A\times B=B\times A\iff (A=B\,\lor\, A=\emptyset \,\lor\, B=\emptyset )
} \)

La demostración en la dirección \( \Leftarrow  \) es trivial y te la dejo a ti, sólo tienes que aplicar la definición de producto cartesiano de dos conjuntos para hallar qué es \( A\times B \) cuando alguno de los dos conjuntos implicados es vacío. Para demostrar la dirección \( \Rightarrow  \) es más sencillo demostrar la implicación contrapositiva, es decir, demostrar que

\( \displaystyle{
(A\neq B\,\land\, A\neq \emptyset \,\land\, B\neq \emptyset )\implies A\times B\neq B\times A
} \)

Si \( A\neq B \) entonces tienes dos casos posibles: o bien existe \( x\in A \) tal que \( x \notin B \), o viceversa. Te lo dejo así a ver si consigues resolverlo.

Para el tercer ejercicio: asumo que \( p \) es una función, entonces tienes que demostrar que si \( y\in p(\bigcap_{i\in I}A_i) \) entonces \( y\in \bigcap_{i\in I}p(A_i) \), y viceversa. En principio si \( y\in f(B) \), para alguna función \( f \) y conjunto \( B \), entonces existe al menos un \( x\in B \) tal que \( f(x)=y \). Te lo dejo así a ver si sabes resolverlo.

Cualquier cosa pregunta de nuevo. Y la próxima vez, por favor, un solo ejercicio por tema.