Autor Tema: Sucesión decreciente de abiertos tal que su intersección sea un cerrado

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02 Julio, 2022, 04:54 pm
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Beautyofmaths

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Hola buenas, estoy viendo la topología del espacio euclídeo \( n- \)dimensional y me he topado con el siguiente ejercicio que no sé muy bien cómo abordar. Dice así:
"Encontrar una sucesión de abiertos, \( \{A_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) decreciente (es decir, tal que \( A_{n+1}\subset{A_n} \) de modo que \( C=\cap_{n=1}^\infty A_n \) sea un cerrado."
Gracias por la ayuda.

02 Julio, 2022, 05:10 pm
Respuesta #1

franma

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Buenas Beautyofmaths :),

¿Qué puedes decir acerca de \( \displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n \) con \( A_n=\left(-\dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n} \right) \) en \( \mathbb{R} \)?

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

02 Julio, 2022, 06:12 pm
Respuesta #2

Beautyofmaths

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Ah, cierto \( \textbf{franma} \), la intersección sería el conjunto unitario \( \{0\} \), que es cerrado por contener al único punto frontera que tiene, ¿verdad?

02 Julio, 2022, 06:25 pm
Respuesta #3

franma

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Buenas Beautyofmaths  :)

Ah, cierto \( \textbf{franma} \), la intersección sería el conjunto unitario \( \{0\} \), que es cerrado por contener al único punto frontera que tiene, ¿verdad?

Si, es correcto.

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.