Autor Tema: Máximos y mínimos

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02 Julio, 2022, 02:24 am
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JesusSaez

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¿En qué puntos de la elipse
\(
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
 \)
la tangente a ésta forma con los ejes coordenados el triángulo de menor área?

02 Julio, 2022, 10:09 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Es sencillo comprobar que las siguientes son unas ecuaciones paramétricas de la elipse.

\[ x=a\cos t \]
\[ y=b\sin t \]

Sus derivadas:

\[ x'=-a\sin t \]
\[ y'=b\cos t \].

Por lo que las ecuaciones paramétricas de una recta tangente a la elipse en el punto definido por el parlamento \[ t \] serán:

\[ x_r=a\cos t-s(a\sin t)  \]
\[ y_r=b\sin t +s(b\cos t)  \]

Multiplicando la primera por \[ b\cos t \], la segunda por \[  a\sin t \] y sumando:

\[ b x_r\cos t+ay_r\sin t=ab \]

Haciendo \[ x_r=0 \] te saldrá la altura del triángulo en \[ y_r=\displaystyle\frac{b}{\sin t} \] y haciendo \[ y_r=0 \] te saldrá la base \[ x_r=\displaystyle\frac{a}{\cos t} \].

Por lo que el área a minimizar sería la expresión:

\[ A(t) =\displaystyle\frac{ab}{|2\sin t\cos t|} =\displaystyle\frac{ab}{|sin 2t|} \]

Que alcanzará un mínimo cuando el denominador sea máximo, es decir cuando \[ \sin 2t=\pm{1} \].

¿Puedes concluir?

Un saludo.