Autor Tema: Probabilidad

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04 Julio, 2022, 06:58 pm
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dsibarral

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Se distribuyen 10 bolas distinguibles en 7 urnas distinguibles ¿A qué es igual la probabilidad que todos las urnas tengan una bola? ¿Cuál es la probabilidad que 2 de las urnas queden vacías?

04 Julio, 2022, 11:31 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Se distribuyen 10 bolas distinguibles en 7 urnas distinguibles ¿A qué es igual la probabilidad que todos las urnas tengan una bola?

Los casos totales son las formas de elegir para cada bola en que urna se mete, es decir, \( 7^{10} \).

Para los casos favorables podemos contar así. Si todas las urnas contienen al menos un bola, hay los siguientes casos:

1) Una urna con \( 4 \) bolas y el resto con una. Las posibilidades para la urna con \( 4 \) bolas son \( 7 \). Las formas de elegir que \( 4 \) bolas lleva son \( \binom{10}{4} \). Las seis bolas restantes se reordenan en las seis urnas restantes: \( 6! \) formas de hacerlo. En total:

\( 7\cdot \binom{10}{4}\cdot 6! \)

2) Una urna con \( 3 \) bolas, otra con \( 2 \) y el resto con una. Las posibilidades para la urna con \( 3 \) bolas son \( 7 \) y \( 6 \) para la urna con dos bolas. Las formas de elegir que \( 3 \) bolas lleva son \( \binom{10}{3} \) y las dos bola \( \binom{7}{2} \). Las cinco bolas restantes se reordenan en las cinco urnas restantes: \( 5! \) formas de hacerlo. En total:

\( 7\cdot \cdot 6\cdot \binom{10}{3}\cdot \binom{7}{2}\cdot 5! \)

3) Tres urnas con  \( 2 \) bolas y el resto con una. Las posibilidades para las urna con \( 2 \) bolas son \( \binom{7}{3} \). Para elegir las dos bolas de cada una:   \( \binom{10}{2} \),  \( \binom{8}{2} \) y  \( \binom{6}{2} \). Las cuatro restantes permutan en las urnas restantes.

\( \binom{7}{3}\cdot \binom{10}{2}\cdot \binom{8}{2}\cdot \binom{6}{2}\cdot 5! \)

Suma los casos favorables y divide entre los casos totales.

Saludos.