[JesusSaez]

Sea \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) una función.
Demostrar que las siguientes afirmaciones sobre \( f \) son equivalentes:
i) \( f \) es contínua.
ii) Para cada número racional \( r \), el conjunto \( f^{-1}(\{r\}) \) es cerrado en \( \mathbb{R} \) y \( f \) tiene la propiedad del valor intermedio, esto es, para cualesquiera \( a,b\in\mathbb{R} \) con \( a<b \) y cualquier \( y\in\mathbb{R} \) tal que \( f(a)<y<f(b) \), existe \( x_0\in (a,b) \) tal que \( f(x_0)=y \).

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \) una función.
Demostrar que las siguientes afirmaciones sobre \( f \) son equivalentes:
i) \( f \) es contínua.
ii) Para cada número racional \( r \), el conjunto \( f^{-1}(\{r\}) \) es cerrado en \( \mathbb{R} \) y \( f \) tiene la propiedad del valor intermedio, esto es, para cualesquiera \( a,b\in\mathbb{R} \) con \( a<b \) y cualquier \( y\in\mathbb{R} \) tal que \( f(a)<y<f(b) \), existe \( x_0\in (a,b) \) tal que \( f(x_0)=y \).

La implicación de (1) a (2) es típica. Si no te sale pregunta.

Para la (2) a (1). Supón que no es continua en un punto \( a\in \Bbb R \); entonces existe un \( \epsilon>0 \) tal que para cada \( n\in \Bbb N \), existe un \( x_n\in (a-1/n,a+1/n) \) tal que \( |f(x_n)-f(a)|>\epsilon \).

Esto quieres decir que \( f(x_n) \) a una distancia mayor que \( \epsilon \) de \( f(a) \), por tanto existe un \( q\in \Bbb Q \) fijo comprendido entre \( f(a) \) y \( f(a)+\epsilon<f(x_n)  \) (ó \( f(a)-\epsilon>f(x_n) \)) para un número infinito de naturales \( n \). Es decir para una subsucesión \( n_k \)

Entonces por la propiedad de los valores intermedios existen \( y_{n_k} \) comprendidos entre \( a \) y \( x_{n_k} \) tal que \( f(y_{n_k})=q \).

Pero \( \{y_{n_k}\}\to a \) y \( f^{-1}(q) \) es cerrado por hipótesis. Como \( \{y_{n_k}\}\subset f^{-1}(q) \) entonces el límite \( a\in f^{-1}(q) \), es decir, \( f(a)=q \). Pero eso contradice la elección de \( q \), que era estrictamente mayor o estrictamente menor que \( f(a) \).

Saludos.

[JesusSaez]

Una pregunta, ¿el caso de la distancia igual a \( \epsilon \) se descarta?
Porque tengo entendido que la negación de la continuidad queda \( |f(x)-f(a)|\geq \epsilon \), porque en la definición es  menor estricto.

También, ¿quienes son los \( x_{n_k} \)? y ¿el racional \( q \) depende de cada natural o no?

[Luis Fuentes]

Hola

Una pregunta, ¿el caso de la distancia igual a \( \epsilon \) se descarta?
Porque tengo entendido que la negación de la continuidad queda \( |f(x)-f(a)|\geq \epsilon \), porque en la definición es  menor estricto.

Da un poco igual. Si pones  \( |f(x)-f(a)|\geq \epsilon \) tomando \( \epsilon'=\dfrac{1}{2}\epsilon \) se tiene que \( |f(x)-f(a)|> \epsilon' \)

También, ¿quienes son los \( x_{n_k} \)? y ¿el racional \( q \) depende de cada natural o no?

No. El \( q \) NO depende de cada natural, y esto es fundamental.

Veamos: lo que tenemos es lo siguiente. Los \( x_n \) cumplen \( |x_n-a|<1/n \) y \( |f(x_n)-f(a)|>\epsilon \) (o mayor igual si quieres; da igual).

Entonces dado un \( x_n \) puede ocurrir que \( f(x_n)>f(a) \) ó que \( f(x_n)<f(a) \); lo que está claro es que al menos uno de los dos casos ocurre infinitas veces (es decir para infinitos valores de \( n \)). Supongamos que el que ocurre infinitas veces es \( f(x_n)>f(a) \)  (si fuera el otro caso las cosas serían análogas).

Estoy llamando \( n_k \) a los naturales para los cuales se da \( f(x_{n_k})>f(a) \) y son infinitos; por tanto tiene sentido considerarlos como una subsucesión.

Ahora quedamos en que cumplía que:

\( |f(x_{n_k})-f(a)|>\epsilon \) es decir \( f(x_{n_k})>f(a)+\epsilon \), entonces si escogemos un \( q \) racional fijo con \( f(a)<q<f(a)+\epsilon<f(x_{n_k}) \) por la propiedad de los valores intermedios existe un \( y_{n_k} \) comprendido entre \( a \) y \( x_{n_k} \) tal que \( f(y_{n_k})=q \).

Es decir el \( q \) es fijo; pero el \( y_{n_k} \) podría variar.

¿Más claro ahora?.

Saludos.

[JesusSaez]

Perfectamente más claro, muchas gracias.
Una pregunta más, ¿se garantiza que \( a<x_{n_k} \) o se supone sin pérdida de generalidad?

[Luis Fuentes]

Hola

Perfectamente más claro, muchas gracias.
Una pregunta más, ¿se garantiza que \( a<x_{n_k} \) o se supone sin pérdida de generalidad?

Es indiferente. Lo que interesa es que \( x_{n_k}\to a \) y que los \( y_{n_k} \) están comprendidos entre ambos, independientemente de cuál es mayor de los dos.

Saludos.

P.D. Poniéndose puntilloso la condición de valores intermedios está mal escrita en el enunciado:

\( f \) tiene la propiedad del valor intermedio, esto es, para cualesquiera \( a,b\in\mathbb{R} \) con \( a<b \) y cualquier \( y\in\mathbb{R} \) tal que \( f(a)<y<f(b) \), existe \( x_0\in (a,b) \) tal que \( f(x_0)=y \).

Tiene que cumplirse también si \( a<b \) pero \( f(b)>y>f(a) \). Tal como está escrita sólo se exije que se cumpla para funciones creciente.

Por ejemplo TAL COMO ESTÁ escrita, la función:

\( f:\Bbb R\to \Bbb R,\qquad f(x)=\begin{cases}{-x}&\text{si}& x\leq 0\\-x-1 & \text{si}& x>0\end{cases} \)

cumple las dos hipótesis del enunciado, y sin embargo no es continua.