Hola, estimado Rincón
Tenía, digamos, una duda: cómo daba el salto de \( \color{red}E_{k}(u)\color{black}=\dfrac{(f')^{(k)}(s)}{k!}(u-a)^{k}=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{k!}(u-a)^{k} \) a \( E_{k}(x)=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1} \)
Me he basado en el Teorema 9 del libro, "Una fórmula para el error de la linealización de una función":
Si existe \( f''(t) \) para todo \( t \) en un intervalo que contenga a \( a \) y a \( x \), entonces existe algún punto \( s \) entre \( a \) y \( x \) tal que el error \( E(x)=f(x)-L(x) \) en la aproximación lineal \( f(x)\approx{L(x)}=f(a)+f'(a)(x-a) \) cumple
\( E(x)=\dfrac{f''(s)}{2}(x-a)2 \)
Su demostración está basada en la aplicación del Teorema del Valor Medio Generalizado a las funciones \( E(t) \) y \( (t-a)^2 \) en \( [a,x] \)
He aplicado \( \color{red}(k+1)! \) veces el dicho Teorema a \( E(t) \) y \( (t-a)^{(k+1)!} \) en \( [a,x] \). Ahí va:
Como \( E_{k}(a)=0 \):
\( \dfrac{E_{k}(x)-E_{k}(a)}{(x-a)^{(k+1)!}-(a-a)^{(k+1)!}}=\dfrac{E'(u)}{(k+1)(u-a)^{k!}}=\dfrac{1}{(k+1)}\dfrac{f'(u)-f'(a)}{(u-a)^{(k!)}}=\ldots{=\dfrac{1}{(k+1)!}\dfrac{f^{(k+1)}(u)-f^{(k+1)}(a)}{(u-a)}}=\dfrac{1}{(k+1)!}\cdot{f^{(k+1)}(s)} \)
Creo que está bien, pero he puesto en rojo esos detalles, por si acaso.
¡Un saludo!
Editado: Intento fallido
