Autor Tema: Ecuación en Z6 y cuestión sobre el anillo de los enteros módulo n

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16 Enero, 2022, 12:47 am
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Beautyofmaths

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Hola, estoy intentando resolver la siguiente ecuación:
\( x^3-x=0, x \in \mathbb{Z}_6  \).
En principio a mí solo me han enseñado a resolver ecuaciones diofánticas lineales y, a partir de ellas, ecuaciones en congruencias lineales; entonces no sé cómo afrontarlo.

Por otro lado, no sé cómo demostrar lo siguiente:
-"Sea \( (\mathbb{Z}_n, +, ·)  \) con \(  n \in \mathbb{N}  \) y la suma y producto usuales en dicho conjunto.
Demuestra que cualquier elemento \(  a \in \mathbb{Z}_n  \) distinto de cero es invertible o es divisor de cero."
Muchas gracias de antemano.

16 Enero, 2022, 12:54 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

\( x^3-x=0, x \in \mathbb{Z}_6  \).
En principio a mí solo me han enseñado a resolver ecuaciones diofánticas lineales y, a partir de ellas, ecuaciones en congruencias lineales; entonces no sé cómo afrontarlo.

Si no te aclaran nada más, ¿por qué no ir por lo fácil y evaluar cada elemento en la ecuación? En total debes comprobar \( 6 \) veces; no es descabellado, en este caso.

Por otro lado, no sé cómo demostrar lo siguiente:
-"Sea \( (\mathbb{Z}_n, +, ·)  \) con \(  n \in \mathbb{N}  \) y la suma y producto usuales en dicho conjunto.
Demuestra que cualquier elemento \(  a \in \mathbb{Z}_n  \) distinto de cero es invertible o es divisor de cero."

Me extraña que diga "es divisor de cero" porque los únicos divisores de cero es el propio cero y se supone que por enunciado \( a\neq0 \), ¿no? Revisa el enunciado.

Saludos

P.D. Al tratarse de ejercicios completamente distintos debes publicar cada pregunta en un hilo separado, a fin de mantener organizado el foro.

16 Enero, 2022, 01:36 am
Respuesta #2

mg

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Me extraña que diga "es divisor de cero" porque los únicos divisores de cero es el propio cero y se supone que por enunciado \( a\neq0 \), ¿no? Revisa el enunciado.

En \( \mathbb{Z}_6 \) por ejemplo tienes que \( 2 \) y \( 3 \) son divisores de cero.

16 Enero, 2022, 01:37 am
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Hola, estoy intentando resolver la siguiente ecuación:
\( x^3-x=0, x \in \mathbb{Z}_6  \).
En principio a mí solo me han enseñado a resolver ecuaciones diofánticas lineales y, a partir de ellas, ecuaciones en congruencias lineales; entonces no sé cómo afrontarlo.

Como te dice manooooh, en \( \mathbb Z_6 \) sólo hay 6 elementos, luego sólo tienes que ver cuáles de ellos cumplen la ecuación. Por ejemplo, si \( x=[2] \) tienes que \( [2]^3-[2]=[8]-[2]=[6]=0 \), ya tienes que \( x=[2] \) es solución. Te quedan 5 candidatos más por comprobar.

Por otro lado, no sé cómo demostrar lo siguiente:
-"Sea \( (\mathbb{Z}_n, +, ·)  \) con \(  n \in \mathbb{N}  \) y la suma y producto usuales en dicho conjunto.
Demuestra que cualquier elemento \(  a \in \mathbb{Z}_n  \) distinto de cero es invertible o es divisor de cero."

Pon que \( a=[c] \) y sea \( d =(c, n) \) (el máximo común divisor). Por la relación de Bezout, existen enteros tales que \( uc+vn=d \).

Distingue dos casos: si \( d=1 \) tomando clases módulo \( n \) llegarás a que \( a=[c] \) es invertible.

Si \( d\neq 1 \), pon que \( n = dm \), con lo que \( umc + vmn = n \). Ahora tomando clases llegarás a que \( a=[c] \) es un divisor de cero.

Más fácil: si \( d\neq 1 \), prueba que \( [c][n/d]=0 \), y eso prueba que \( a=[c] \) es un divisor de cero.


Intenta acabar.

16 Enero, 2022, 02:27 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola

En \( \mathbb{Z}_6 \) por ejemplo tienes que \( 2 \) y \( 3 \) son divisores de cero.

¿Cómo obtienes que son divisores de cero? Nunca he trabajado en anillos.

Saludos

16 Enero, 2022, 03:52 am
Respuesta #5

argentinator

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Hola

En \( \mathbb{Z}_6 \) por ejemplo tienes que \( 2 \) y \( 3 \) son divisores de cero.

¿Cómo obtienes que son divisores de cero? Nunca he trabajado en anillos.

Saludos

\(2\cdot 3 = 0\).

16 Enero, 2022, 11:08 am
Respuesta #6

Beautyofmaths

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De acuerdo, lo he entendido, muchas gracias a todos. Una última cosa, la siguiente expresión es cierta, ¿verdad?
\(  [x]=[y]  \) en \(  \mathbb{Z} _n \Longleftrightarrow{x\equiv_n{y}} \)

16 Enero, 2022, 11:24 am
Respuesta #7

feriva

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Hola, estoy intentando resolver la siguiente ecuación:
\( x^3-x=0, x \in \mathbb{Z}_6  \).
En principio a mí solo me han enseñado a resolver ecuaciones diofánticas lineales y, a partir de ellas, ecuaciones en congruencias lineales; entonces no sé cómo afrontarlo.

También lo puedes hacer así (si no me equivoco, que puede que sí me equivoque).

Perdón, se me cruzaron las ideas al contestar; pero edito y arreglo la respuesta

Spoiler
Consideramos primeramente dividir por x

\( x^{2}-1=0
  \).

Si \( x^{2}-1
  \) es múltiplo de 3, ya está. Entonces, considerando módulo 3 con restos 1 y 2, si x es impar

\( (2m+1)^{2}-1=(4m^{2}+4m+1)-1
  \) es par y es divisor de cero.

[cerrar]

Si x es par, utilizo la igualdad notable

\( x^{2}-1=(x+1)(x-1)
  \)

O sea, teníamos dividiendo por “x”, que \( x^{2}-1=(x+1)(x-1)
  \); que son factores. Si fueran pares, es múltiplo de 6 [queda explicado en el spoiler lo que falta] si no, entonces lo es “x” y \( x^{3}-x=x(x^{2}-1)
  \) es par. Luego es múltiplo de 6.

Saludos.

-

16 Enero, 2022, 12:07 pm
Respuesta #8

Fernando Revilla

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De acuerdo, lo he entendido, muchas gracias a todos. Una última cosa, la siguiente expresión es cierta, ¿verdad?
\(  [x]=[y]  \) en \(  \mathbb{Z} _n \Longleftrightarrow{x\equiv_n{y}} \)

Sí, es cierta. Te puede ser útill ver la construcción del anillo \(  \mathbb{Z} _n \): https://fernandorevilla.es/2021/02/23/congruencias/.

16 Enero, 2022, 07:19 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Hola, estoy intentando resolver la siguiente ecuación:
\( x^3-x=0, x \in \mathbb{Z}_6  \).
En principio a mí solo me han enseñado a resolver ecuaciones diofánticas lineales y, a partir de ellas, ecuaciones en congruencias lineales; entonces no sé cómo afrontarlo.

También lo puedes hacer así (si no me equivoco, que puede que sí me equivoque).

Consideramos primeramente dividir por x

\( x^{2}-1=0
  \).

Si \( x^{2}-1
  \) es múltiplo de 3, ya está. Entonces, considerando módulo 3 con restos 1 y 2, si x es impar

\( (2m+1)^{2}-1=(4m^{2}+4m+1)-1
  \) es par y es divisor de cero.

Si x es par, utilizo la igualdad notable

\( x^{2}-1=(x+1)(x-1)
  \)

 La ecuación es en \( \Bbb Z_6 \) no en \( \Bbb Z_3 \). También hablas de divisores de cero; entonces no me queda claro si estás resolviendo la ecuación inicial o estás haciendo otra cosa.

Saludos.