[MatematicaMente]

Buenas tardes, me he enfrentado a varios problemas sobre bases de entornos y me cuestan bastante.
El siguiente dice así:
\( \forall (x,y)\in\mathbf{R^2} \), se considera la familia de subconjuntos de \( \mathbf{R^2} \), B(x,y)\( ={B_r((x,0))\cup(x,y)} \), con r>0 y \( B_r((x,0)) \) es la bola euclídea de centro \( (x,0) \) y radio r. Probar que \( \forall (x,y)\in \mathbf{R^2} \), B((x,y)) es base de entornos de \( (x,y) \) para algún T sobre \( \mathbf{R^2} \)

He pensado en ver que se cumplen las propiedades que debe verificar toda base de entornos:
1)\( \forall B \in \) B(x) \( x \in B \)
2)\( \forall B_1, B_2 \in \) B(x) \( \exists B \in \) B(x) / \( B \subset B_1\cap B_2 \)
3)\( \forall B_1 \in \) B(x) \( \exists B_2 \in \) B(x) / \( \forall y \in B_2 \exists B \in  \) B(y) \( B \subset B_1 \)

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes, me he enfrentado a varios problemas sobre bases de entornos y me cuestan bastante.
El siguiente dice así:
\( \forall (x,y)\in\mathbf{R^2} \), se considera la familia de subconjuntos de \( \mathbf{R^2} \), B(x,y)\( ={B_r((x,0))\cup(x,y)} \), con r>0 y \( B_r((x,0)) \) es la bola euclídea de centro \( (x,0) \) y radio r. Probar que \( \forall (x,y)\in \mathbf{R^2} \), B((x,y)) es base de entornos de \( (x,y) \) para algún T sobre \( \mathbf{R^2} \)

He pensado en ver que se cumplen las propiedades que debe verificar toda base de entornos:

¿Y qué has conseguido?¿Qué dificultades encuentras?.

1)\( \forall B \in \) B(x) \( x \in B \)

Inmediato.

2)\( \forall B_1, B_2 \in \) B(x) \( \exists B \in \) B(x) / \( B \subset B_1\cap B_2 \)

Spoiler

Si \( B_i=B_{r_i}((x,0))\cup \{(x,y)\} \) basta tomar \( B_{r}((x,0))\cup \{(x,y)\} \) con \( r=min\{r_1,r_2\} \).

[cerrar]

3)\( \forall B_1 \in \) B(x) \( \exists B_2 \in \) B(x) / \( \forall y \in B_2 \exists B \in  \) B(y) \( B \subset B_1 \)

No es así (creo). Es:

3)\( \forall B_1 \in \) B(x) \( \forall y\in B_1 \), \( \exists B_2 \in \) B(y) / \( B_2 \subset B_1 \)

Spoiler

Dado \( (x',y')\in B_1=B_r(x,0)\cup \{(x,y)\} \):

- Si \( (x',y')=(x,y) \) basta tomar \( B_2=B_1 \).
- Si \( (x',y')=(x,y) \) entonces \( (x',y'),(x',0)\in B_r(x,0)  \). Basta tomar \( B_2=B_s((x',0))\cup (x',y')) \) con \( s \) suficientemente pequeño

[cerrar]

.

Saludos.

[MatematicaMente]

Muchas gracias, había razonado como usted pero no estaba segura de que estuviese bien.