Autor Tema: Una partición del plano

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11 Enero, 2022, 04:20 pm
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sekiro

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Hola buenas a todos.

Tengo problemas al encontrar una partición de \( R^2 \) que esté formada por al menos cinco elementos y que contenga a los siguientes subconjuntos:

\( A= (0,1) \times (0,1) \)
\( B= (0,1) \times (2,3) \)
\( C= [2,3] \times R \)

11 Enero, 2022, 08:46 pm
Respuesta #1

manooooh

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Hola deyour, bienvenido al foro!!

Recuerda leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \mathrm\LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Por otro lado, ¿qué intentaste? Es importante que nos digas qué hiciste y qué dudas concretas tienes así podemos ayudarte mejor.



Tengo problemas al encontrar una partición de \( R^2 \) que esté formada por al menos cinco elementos y que contenga a los siguientes subconjuntos:

\( A= (0,1) \times (0,1) \)
\( B= (0,1) \times (2,3) \)
\( C= [2,3] \times R \)

Considera \( P=\{A_1,A_2,A_3,A_4,A_5\} \) (he elegido el mínimo para hacerlo más rápido). Como \( [2,3] \times\Bbb{R}\subseteq P \) luego la única segunda componente de los \( A_i \) debe ser \( \Bbb{R} \) (puesto que no hay ningún conjunto "mayor"). Así \( A_i=\boxed{\color{white}a}\times\Bbb{R} \).

Para la primera componente yo haría que todos los intervalos "quepan" en uno solo (o sea hacer la unión), y luego trabajamos con intervalos no vacíos y disjuntos para completar todo \( \Bbb{R} \):

- \( A_1=(0,3]\times\Bbb{R} \) <- Este es la unión de los primeros intervalos
- \( A_2=(-1,0]\times\Bbb{R} \) <- Aquí empezamos a rellenar con cualquier intervalo
- \( A_3=(-2,-1]\times\Bbb{R} \)
- \( A_4=(-\infty,-2]\times\Bbb{R} \)
- \( A_5=(3,\infty)\times\Bbb{R} \)

Efectivamente se comprueban las condiciones:

- \( |P|\geq5 \)
- \( A_i\neq\emptyset \)
- \( A_i\cap A_j=\emptyset \)
- \( \bigcup A_i=\Bbb R^2 \)


Saludos

AGREGADO: Está MAL. Ver mensaje siguiente.

11 Enero, 2022, 09:04 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Para la primera componente yo haría que todos los intervalos "quepan" en uno solo (o sea hacer la unión), y luego trabajamos con intervalos no vacíos y disjuntos para completar todo \( \Bbb{R} \):

- \( A_1=(0,3]\times\Bbb{R} \) <- Este es la unión de los primeros intervalos
- \( A_2=(-1,0]\times\Bbb{R} \) <- Aquí empezamos a rellenar con cualquier intervalo
- \( A_3=(-2,-1]\times\Bbb{R} \)
- \( A_4=(-\infty,-2]\times\Bbb{R} \)
- \( A_5=(3,\infty)\times\Bbb{R} \)

 Pero esa partición no contiene a los tres subconjuntos que decía el enunciado.

 No obstante sería bueno que indicase el contexto del ejercicio. Sin más restricciones sobre el tipo de partición. Dados:

\( A= (0,1) \times (0,1) \)
\( B= (0,1) \times (2,3) \)
\( C= [2,3] \times R \)

 Para completarlos a una partición del plano basta tomar \( D \) cualquier conjunto disjunto de los tres anteriores (por ejemplo un punto) y como quinto conjunto \( E=\Bbb R^2\setminus (A\cup B\cup C\cup D) \)

Saludos.

12 Enero, 2022, 10:24 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Pero esa partición no contiene a los tres subconjuntos que decía el enunciado.

Cierto Luis, había leído apurado el enunciado y no recapacité en que pide por ejemplo que \( B\subseteq P \), donde \( P \) está formado por conjuntos de intervalos, yo había pensado que eran intervalos a sueltas. ¿Es correcta esta interpretación?

Saludos

12 Enero, 2022, 11:55 am
Respuesta #4

sekiro

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Hola, gracias a ambos por contestar.
Adjunto foto del respectivo ejercicio para evitar ambigüedad, no existen más restricciones aparte de las ya mencionadas.
Creo que no entiendo la intersección de subconjuntos en R^2 en este caso.
¿Por qué la intersección entre, por ejemplo, A_1 y A_2 es el vacío?

Gracias de nuevo y un saludo.

12 Enero, 2022, 12:17 pm
Respuesta #5

geómetracat

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¿Por qué la intersección entre, por ejemplo, A_1 y A_2 es el vacío?
Los elementos de \[ A_1:= (0,3] \times \Bbb R \] son todos los pares \[ (x,y) \] de números reales donde \[ 0<x\leq 3 \] (e \[ y \] puede ser cualquier real). De igual manera, los elementos de \[ A_2 :=(-1,0] \times \Bbb R \] son los pares \[ (x,y) \] de números reales donde \[ -1<x\leq 0 \].
Como no se puede cumplir a la vez \[ 0<x\leq 3 \] y \[ -1<x\leq 0 \], no hay ningún elemento que pertenezca a \[ A_1 \] y \[ A_2 \] a la vez. Es decir, \[ A_1 \cap A_2 = \emptyset \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

12 Enero, 2022, 12:51 pm
Respuesta #6

sekiro

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Ah vale, ya lo entiendo pensaba que al ser "y=R", se tomaban todos los números reales "a la vez" es decir la recta real "entera"  y por tanto su intersección con otro subconjunto de R^2 sería no vacío.
Disculpad la notación ambigua, todavía no sé escribir de manera formal aquí.
Muchas gracias geómetracat.

12 Enero, 2022, 12:53 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Ah vale, ya lo entiendo pensaba que al ser "y=R", se tomaban todos los números reales "a la vez" es decir la recta real "entera"  y por tanto su intersección con otro subconjunto de R^2 sería no vacío.
Disculpad la notación ambigua, todavía no sé escribir de manera formal aquí.
Muchas gracias geómetracat.

Por si te ayuda, aquí tienes dibujados los cuatro tres conjuntos que te dan:



Saludos.

CORREGIDO

12 Enero, 2022, 01:07 pm
Respuesta #8

sekiro

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¡Qué maravilla! Entonces como conjunto \( D \) valdría el punto \( (-1,1) \) por ejemplo, ¿no? Es que puse un punto en el ejercicio y anotó que el \( (0,1) \) no era un subconjunto de \( \Bbb R^2 \), puedo pasar captura de ello.

12 Enero, 2022, 01:25 pm
Respuesta #9

sekiro

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Para asegurarme, ¿podría poner \( D= (-1,-2)\times \Bbb R \) por ejemplo?