Autor Tema: Axiomas de Peano

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11 Enero, 2022, 01:48 am
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lina.galvism

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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Hola, podrían ayudarme a decirme si voy bien en el proceso de demostrar el siguiente ejercicio:

"Demostrar que para todo número natural diferente de cero es de la forma \( n^{+} \) para algún \( n\in\mathbb N \)"

Lo que llevo es lo siguiente:

Sea \( S:= \{m\in\mathbb N : m=n^{+} \)para algún \( n\in\mathbb N\} \)

Queremos probar que:
  • \( 0\in S \)
  • \( K\in S \) implica que \( K^{+}\in S \)
En efecto, existe \( n=0\in \mathbb N \) tal que \( 1=0^{+} \), por tanto, \( 1\in S \)

Ahora, supongamos que \( K\in S \), es decir, existe \( n\in \mathbb N \) tal que \( K=n^{+} \), veamos que \( K^{+}\in S \), es decir, existe un \( m\in\mathbb N \) tal que \( K^{+}=m^{+} \).

\( \begin{array}{rcl}
K^{+} &=& K^{+}+0  (prop. de +)\\
           &=& (K+0)^{+}\\
           &=& (n^{+}+0)^{+}  \\
           &=& (m+0)^{+} (\textrm{donde}\qquad m=n^{+})\\
                   &=& (m)^{+}
\end{array} \)

Así, \( K\in S \)

11 Enero, 2022, 09:42 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola, podrían ayudarme a decirme si voy bien en el proceso de demostrar el siguiente ejercicio:

"Demostrar que para todo número natural diferente de cero es de la forma \( n^{+} \) para algún \( n\in\mathbb N \)"

Lo que llevo es lo siguiente:

Sea \( S:= \{m\in\mathbb N : m=n^{+} \)para algún \( n\in\mathbb N\} \)

Queremos probar que:
  • \( 0\in S \)
  • \( K\in S \) implica que \( K^{+}\in S \)
En efecto, existe \( n=0\in \mathbb N \) tal que \( 1=0^{+} \), por tanto, \( 1\in S \)

No es cierto el \( 0 \) esté en \( S \).

Citar
Ahora, supongamos que \( K\in S \), es decir, existe \( n\in \mathbb N \) tal que \( K=n^{+} \), veamos que \( K^{+}\in S \), es decir, existe un \( m\in\mathbb N \) tal que \( K^{+}=m^{+} \).

\( \begin{array}{rcl}
K^{+} &=& K^{+}+0  (prop. de +)\\
           &=& (K+0)^{+}\\
           &=& (n^{+}+0)^{+}  \\
           &=& (m+0)^{+} (\textrm{donde}\qquad m=n^{+})\\
                   &=& (m)^{+}
\end{array} \)

Así, \( K\in S \)

Pero te complicas. Dado \( K\in S \), es inmediato que \( K^+\in S \) porque \( K^+=n^+ \) con \( n=K \).

Entiendo que estás considerando como primer elemento el cero. En ese caso para que S sea un conjunto inductivo y aplicar el quinto axioma de Peano necesitas que \( 0\in S \). Simplemente para eso define \( S=\{m\in \Bbb N|m=n^+,\quad n\in \Bbb N\}\cup \{0\} \).

Saludos.

12 Enero, 2022, 02:15 am
Respuesta #2

lina.galvism

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Citar
No es cierto el \( 0 \) esté en \( S \).


Si, disculpa fue un error de transcripción en la demostración, la primera parte desde 1 si lo tomo de esta forma \( 1\in S \)
Y su demostración:
En efecto, existe \( n=0\in \mathbb N \) tal que \( 1=0^{+} \), por tanto, \( 1\in S \)

Tomándolo con este caso valdría para la inducción el conjunto \( S:= \{m\in\mathbb N-\{0\} : m=n^{+} \)para algún \( n\in\mathbb N\} \)
   
Citar
Pero te complicas. Dado \( K\in S \), es inmediato que \( K^+\in S \) porque \( K^+=n^+ \) con \( n=K \).

Entiendo, mil gracias, pensaba que se tenía que justificar muy bien esa parte.

¡Saludos!

12 Enero, 2022, 08:49 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Citar
Pero te complicas. Dado \( K\in S \), es inmediato que \( K^+\in S \) porque \( K^+=n^+ \) con \( n=K \).

Entiendo, mil gracias, pensaba que se tenía que justificar muy bien esa parte.

Pensabas correctamente. Pero justificar bien no equivale a hacer un razonamiento largo o complicado. La demostración de ese hecho que te he indicado es una justificación totalmente rigurosa.

Saludos.