Hola Yotuel.
Y para comprobar que H subgrupo de G tal que |H| finito y |G| infinito no se puede dar:
Sea h en H, a,b en G - H tal que ah=b (pues un elemento de H por otro de G - H no puede pertenecer a H) Entonces despejando h tenemos h =( a^-1) b pero |h| es finito y |(a^-1) b| infinito
A no ser que algo se me escape, no veo porque puedes asegurar que el orden de \( a^{-1}b \) sea infinito.
EDITO: No me había dado cuenta de que estabas partiendo de suponer que en \( G \) no hay elementos de orden finito. Entonces tu prueba es correcta, pero es mucho más sencillo que lo que haces pues, los elementos de cualquier grupo finito tienen orden finito y ya tendrías la contradicción sin necesidad de acudir a los \( a, b \) que defines. Por consiguiente, tampoco hace falta el teorema de Cauchy ni nada de lo que dije abajo
De todas formas, la equivalencia si es cierta:
Sea \( G \) un grupo de cardinal infinito tal que todos sus elementos (salvo la identidad) tienen orden infinito, y supongamos por reducción al absurdo que existe \( H \) un subgrupo finito, no trivial, de \( G \). Entonces, si es \( n \) el cardinal de \( H \) y \( p \) un primo cualquiera que divide a \( n \), por el teorema de Cauchy existe un elemento \( a \in H \) que tiene orden \( p \). Así, \( a \) es un elemento de \( G \) con orden \( p \), lo cual es una contradicción.
Para el recíproco, supongamos que \( G \) es un grupo infinito que no tiene subgrupos, no triviales, finitos. Entonces, todo elemento (distinto de la unidad) de \( G \) debe tener orden infinito pues, si existiera un elemento \( a \in G \) con orden \( n \), el subgrupo generado por este tendrá cardinal \( n \), contradiciendo que \( G \) no tiene subgrupos finitos.
Un saludo.
