Autor Tema: Orden de los elementos de un grupo de orden infinito

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10 Enero, 2022, 12:11 pm
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Yotuel

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Hola, si es posible confirmar lo siguiente:

Es equivalente decir que el orden de los elementos de un grupo de cardinal infinito no puede ser finito a decir que el grupo infinito no puede tener subgrupos finitos

Y para comprobar que \( H \) subgrupo de \( G \) tal que \( |H| \) finito y \( |G| \) infinito no se puede dar:
Sea \( h \) en \( H \), \( a,b \) en \( G - H \) tal que \( ah=b \) (pues un elemento de \( H \) por otro de \( G - H \) no puede pertenecer a \( H \)) Entonces despejando \( h \) tenemos \( h =( a^{-1}) b \) pero \( |h| \) es finito y \( |(a^{-1}) b| \) infinito

Gracias.

10 Enero, 2022, 01:05 pm
Respuesta #1

Eparoh

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Hola Yotuel.

Y para comprobar que H subgrupo de G tal que |H| finito y |G| infinito no se puede dar:
Sea h en H, a,b en G - H tal que ah=b (pues un elemento de H por otro de G - H no puede pertenecer a H) Entonces despejando h tenemos h =( a^-1) b pero |h| es finito y |(a^-1) b| infinito

A no ser que algo se me escape, no veo porque puedes asegurar que el orden de \( a^{-1}b \) sea infinito.

EDITO: No me había dado cuenta de que estabas partiendo de suponer que en \( G \) no hay elementos de orden finito. Entonces tu prueba es correcta, pero es mucho más sencillo que lo que haces pues, los elementos de cualquier grupo finito tienen orden finito y ya tendrías la contradicción sin necesidad de acudir a los \( a, b \) que defines. Por consiguiente, tampoco hace falta el teorema de Cauchy ni nada de lo que dije abajo  ::)

De todas formas, la equivalencia si es cierta:

Sea \( G \) un grupo de cardinal infinito tal que todos sus elementos (salvo la identidad) tienen orden infinito, y supongamos por reducción al absurdo que existe \( H \) un subgrupo finito, no trivial, de \( G \). Entonces, si es \( n \) el cardinal de \( H \) y \( p \) un primo cualquiera que divide a \( n \), por el teorema de Cauchy existe un elemento \( a \in H \) que tiene orden \( p \). Así, \( a \) es un elemento de \( G \) con orden \( p \), lo cual es una contradicción.

Para el recíproco, supongamos que \( G \) es un grupo infinito que no tiene subgrupos, no triviales, finitos. Entonces, todo elemento (distinto de la unidad) de \( G \) debe tener orden infinito pues, si existiera un elemento \( a \in G \) con orden \( n \), el subgrupo generado por este tendrá cardinal \( n \), contradiciendo que \( G \) no tiene subgrupos finitos.

Un saludo.

10 Enero, 2022, 01:09 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Y para comprobar que \( H \) subgrupo de \( G \) tal que \( |H| \) finito y \( |G| \) infinito no se puede dar:

Es que eso es falso. Por ejemplo si tomas \( G=\Bbb Z_2\times \Bbb Z \) es un grupo infinito con un subgrupo \( H=\Bbb Z_2\times \{0\} \) finito.

Saludos.

Añadido. Eparoh entiende que ahí trabajas bajo el supuesto de \( G \) no tiene elementos de orden finito. Entonces si es cierto lo que afirmas y mi ejemplo no encaja.

10 Enero, 2022, 01:11 pm
Respuesta #3

Eparoh

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Hola

Y para comprobar que \( H \) subgrupo de \( G \) tal que \( |H| \) finito y \( |G| \) infinito no se puede dar:

Es que eso es falso. Por ejemplo si tomas \( G=\Bbb Z_2\times \Bbb Z \) es un grupo infinito con un subgrupo \( H=\Bbb Z_2\times \{0\} \) finito.

Hola Luis, como he puesto en la edición de mi mensaje anterior, creo que parte también de la hipótesis que propone de que en \( G \) no hay elementos de orden finito (salvo el neutro).

Un saludo.

10 Enero, 2022, 04:40 pm
Respuesta #4

Yotuel

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Hola, gracias por todas las respuestas. He aprendido de todas ellas. Añado lo siguiente para completar la cuestión.
Se trata de un ejercicio del texto Un Curso en Teoría de Grupos. Alonso Castillo Ramírez. Publicaciones Electrónicas Sociedad Matemática Mexicana.
Página 19
Ejercicio 1.1. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y justifica tu respuesta: 4) Si un grupo es infinito, los órdenes de todos sus elementos son infinitos.
Como se trata de la sección 1.1 donde empieza la teoría básica de grupos, incluyendo por ejemplo potencias y orden de sus elementos, pero no mucho más,parece que se trata de verificar un razonamiento basado en propiedades fundamentales y la respuesta pueda cambiar si se aplican ejemplos o premisas más avanzadas de capítulos posteriores.

10 Enero, 2022, 05:30 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Ejercicio 1.1. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, y justifica tu respuesta: 4) Si un grupo es infinito, los órdenes de todos sus elementos son infinitos.

Por si no ha quedado claro, la afirmación es falsa. Y te he puesto un ejemplo en mi anterior mensaje de grupo \( \Bbb Z_2\times \Bbb Z \) con un elemento de orden dos, el \( (\bar 1,0) \).

Otro ejemplo es el grupo multiplicativo de los reales menos el cero; el elemento \( (-1) \) tiene orden dos, porque \( (-1)^2=1 \).

Citar
Como se trata de la sección 1.1 donde empieza la teoría básica de grupos, incluyendo por ejemplo potencias y orden de sus elementos, pero no mucho más, parece que se trata de verificar un razonamiento basado en propiedades fundamentales y la respuesta pueda cambiar si se aplican ejemplos o premisas más avanzadas de capítulos posteriores.

Ojo; puede cambiar la forma de  justificar la respuesta. Normalmente cuando uno ha visto más teoría puede responder de manera más sencilla a cuestiones que antes requerían más trabajo, porque tiene resultados más avanzados para aplicar. Pero la respuesta no cambia, es decir, si la afirmación es FALSA lo es independientemente de que uno haya avanzado poco o mucho en la materia.

Saludos.