[Facoquero]

a

[Masacroso]

Hola, buenas tardes. Les traigo un problema de topología que me ha dado muchas dudas.

En primer lugar, nos dan la siguiente propiedad:

Se dice que dos seudométricas \[d_1\], \[d_2\] sobre un mismo conjunto X son equivalentes si cumplen las siguientes condiciones:
1. \[\forall \epsilon_1 >0\], existe \[\epsilon_2 >0\] tal que \[\forall x \in X\] se tiene \[B_{d_2}(x;\epsilon_2) \subset B_{d_1}(x;\epsilon_1)\]
2. \[\forall \epsilon_2 >0,\] existe \[\epsilon_1 >0\] tal que \[\forall x \in X\] se tiene \[B_{d_1}(x;\epsilon_1) \subset B_{d_2}(x;\epsilon_2)\]

El ejercicio es el siguiente:

Sea \[X=\left\{{\frac{1}{n}}\right\}_{n \in \mathbb{N}};\] definamos \[d_1\] y \[d_2\] métricas del siguiente modo:

\[d_1(\displaystyle\frac{1}{n},\displaystyle\frac{1}{m})=\left |{n-m}\right |\] y \[d_2(\displaystyle\frac{1}{n},\displaystyle\frac{1}{m})=\left |{\displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{m}}\right |\]

Demuestra que:
1. \[T(d_1)\] y \[T(d_2)\] son ambas la topología discreta, es decir, \[T(d_1) = T(d_2) = T_d\], y por tanto \[d_1\] y \[d_2\] son topológicamente equivalentes.
2. Se cumple la condición 2, pero no la 1.

Se que en la topología discreta se cumple que \[d(x,y)=1\] si \[x\neq y\] y \[d(x,y)=0\] si \[x=y\].
Y es claro que \[d_1(\displaystyle\frac{1}{n},\displaystyle\frac{1}{m})=\begin{cases}{1}&\text{si}& \displaystyle\frac{1}{n}\neq\displaystyle\frac{1}{m}\\0 & \text{si}& \displaystyle\frac{1}{n}=\displaystyle\frac{1}{m}\end{cases}\]

Lo mismo con \[d_2\].

No se como continuar. Muchas gracias de antemano.

La topología discreta es una topología, es decir, no depende de ninguna función distancia. Se caracteriza porque todos los conjuntos de la forma \( \{x\} \) son abiertos y cerrados, es decir, tal topología coincide con el conjunto potencia. Entonces te basta demostrar que las topologías que inducen \( d_1 \) y \( d_2 \) en \( X \) tienen esta propiedad.

[Luis Fuentes]

Hola
 
 Por continuar lo apuntado por Mascacroso...

 Con lo dicho por él, tendrías probado 1. Luego te piden ver que:

- Se cumple:

2. \[\forall \epsilon_2 >0,\] existe \[\epsilon_1 >0\] tal que \[\forall x \in X\] se tiene \[B_{d_1}(x;\epsilon_1) \subset B_{d_2}(x;\epsilon_2)\]

Para ello ten en cuenta que:

\( d_2(1/n,1/m)=\left|\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{m}\right|=\dfrac{|n-m|}{|nm|}\leq |n-m|=d_1(1/n,1/m) \)

por tanto basta que tomes \( \epsilon_1=\epsilon_2 \).

- No se cumple:

1. \[\forall \epsilon_1 >0\], existe \[\epsilon_2 >0\] tal que \[\forall x \in X\] se tiene \[B_{d_2}(x;\epsilon_2) \subset B_{d_1}(x;\epsilon_1)\]

Para ello si tomas \( \epsilon_1=1 \), ten en cuenta que \( B_{d_1}(x,\epsilon_1)=\{x\} \) para cualquier \( x \).

Pero para cualquier \( \epsilon_2>0 \) tomando \( n \) suficientemente alto y \( m=2n \):

\( d_2(1/n,1/m)=\dfrac{|n-m|}{|nm|}=\dfrac{1}{2n}<\epsilon_2 \)

y por tanto \( 2n\in B_{d_2}(n;\epsilon_2) \).

Saludos.

P.D. El ejercicio muestra que dos métricas pueden ser topológicamente equivalentes, pero sin embargo no ser métricas equivalentes.

[Facoquero]

Vale, perfecto. Muchas gracias por la ayuda. Sigo teniendo dudas con el primer apartado. He hecho lo siguiente y no se si es correcto.

Para ver que la topología que induce \[d_1\] coincide con la topología discreta, basta con comprobar que todo punto de X es abierto. Para ello tomo \[\left\{{\displaystyle\frac{1}{n}}\right\}=(\displaystyle\frac{1}{n-1},\displaystyle\frac{1}{n+1}) \cap X\] y así veo que todo punto de X es abierto.
Pero si tomo \[A=X \cup \left\{{0}\right\}\], la topología relativa en A ya no es la discreta ya que cualquier abierto que contenga a cero, contiene alguna fracción de X.

Mi duda es si esto es correcto y como puedo mejorarlo y si se hace de forma análoga para \[d_2\]. Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Vale, perfecto. Muchas gracias por la ayuda. Sigo teniendo dudas con el primer apartado. He hecho lo siguiente y no se si es correcto.

Para ver que la topología que induce \[d_1\] coincide con la topología discreta, basta con comprobar que todo punto de X es abierto. Para ello tomo \[\left\{{\displaystyle\frac{1}{n}}\right\}=(\displaystyle\frac{1}{n-1},\displaystyle\frac{1}{n+1}) \cap X\] y así veo que todo punto de X es abierto.

Pero ahí parece que estás tomando un intervalo y pensando en una topología relativa. Olvídate de eso. Tienes que tomar bolas con la métrica (en tu caso con \( d_1 \)) con la que trabajas. Y trabajas en el conjunto \( X \). No existe nada fuera de ahí. Lo que tienes es que:

\( B(1/n,1)=\{1/m|d_1(1/n,1/m)\}=\{1/m||n-m|<1\}=\{1/m|m=n\}=\{1/n\} \)

Es decir esa bola es el propio punto \( 1/n \) y por tanto los puntos son abiertos.

Saludos.

[Facoquero]

Vale genial. Muchas gracias y un saludo.