[thadeu]

Hola a todos
Sea $$x$$ un número real en el intervalo $$[0,\pi]$$ pruebe que $$f(x)=xsenx+cosx$$, tiene una única raíz.
Mi solución es con el teorema de Bolzano como es típico de estos problemas.
La curiosidad que tengo es si seria posible una solución sin Bolzano.
Saludos.

[martiniano]

Hola.

A modo de apunte, con el teorema de Bolzano se suele demostrar la existencia, y con el de Rolle la unicidad.

Un saludo.

[Fernando Revilla]

Sea $$x$$ un número real en el intervalo $$[0,\pi]$$ pruebe que $$f(x)=xsenx+cosx$$, tiene una única raíz.
Mi solución es con el teorema de Bolzano como es típico de estos problemas.
La curiosidad que tengo es si seria posible una solución sin Bolzano.

No entiendo la frase si seria posible una solución sin Bolzano. Como \( f(0)=1>0 \) y \( f(\pi)=-1<0 \) el teorema de Bolzano asegura la existencia de al menos una raíz en \( (0,\pi) \). Por otra parte, \( f^\prime (x)=x\cos x \) con lo cual \( f \) es estrictamente creciente en \( [0,\pi/2] \) y estrictamente decreciente en \( [\pi/2,0] \) lo cual prueba que la solución es única.

[thadeu]

Hola Fernando y Martiniano
Si Fernando es la misma solución que tengo
la inquietud que tengo es si se puede resolver sin recurrir al teorema de Bolzano
Saludos

[thadeu]

Una posible solución es con el teorema de Rolle.
Otra es con el teorema del valor intermedio.
Pero me surge una duda
Son equivalentes el teorema de Bolzano con el teorema del valor intermedio?

[Fernando Revilla]

la inquietud que tengo es si se puede resolver sin recurrir al teorema de Bolzano

Sí, en este caso al ser \( f \) estrictamente creciente en \( [0,\pi/2] \) con \( f(0)=1 \), estrictamente creciente en \( [\pi/2,\pi] \) con \( f(\pi)=-1 \) unido al teorema de los valores intermedios, resuelve el problema.

Una posible solución es con el teorema de Rolle.

A veces el teorema de Rolle resuelve el problema de la unicidad: de suponer que \( f \) tuviera dos raíces distintas, llegar a un absurdo. Pero en este caso tal absurdo no se obtiene.

Son equivalentes el teorema de Bolzano con el teorema del valor intermedio?

No, el de Bolzano es para funciones continuas en un intervalo \( [a,b] \) con \( f(a)f(b) <0 \) y el de los valores intermedios para funciones continuas con \( f(a) \) y \( f(b) \) cualesquiera.

[martiniano]

Hola.

Una posible solución es con el teorema de Rolle.

A veces el teorema de Rolle resuelve el problema de la unicidad: de suponer que \( f \) tuviera dos raíces distintas, llegar a un absurdo. Pero en este caso tal absurdo no se obtiene.

Cierto. Me precipité.

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

Son equivalentes el teorema de Bolzano con el teorema del valor intermedio?

No, el de Bolzano es para funciones continuas en un intervalo \( [a,b] \) con \( f(a)f(b) <0 \) y el de los valores intermedios para funciones continuas con \( f(a) \) y \( f(b) \) cualesquiera.

Yo si diría que son equivalentes.  Entendiendo:

1) Bolzano: Si \( f:[a,b]\to \Bbb R \) continua y \( f(a)f(b)<0 \) entonces existe \( c\in [a,b] \) tal que \( f(c)=0 \).
2) Intermedios: Si \( f:[a,b]\to \Bbb R \) continua y \( f(a)<y<f(b) \) (o \( f(a)>y>f(b) \)) entonces existe \( c\in [a,b] \) tal que \( f(c)=y \).

De (1) a (2) se prueba aplicando (1) a la función \( g(x)=f(x)-y \).
De (2) a (1) se prueba aplicando directamente (2) para \( y=0 \).

Saludos.

[Fernando Revilla]

Yo si diría que son equivalentes.

¿Cómo defines en general el concepto de teoremas equivalentes?

Entendiendo:
1) Bolzano: Si \( f:[a,b]\to \Bbb R \) continua y \( f(a)f(b)<0 \) entonces existe \( c\in \color{red}(\color{black}a,b\color{red}) \) tal que \( f(c)=0 \).
2) Intermedios: Si \( f:[a,b]\to \Bbb R \) continua y \( f(a)<y<f(b) \) (o \( f(a)>y>f(b) \)) entonces existe \( c\in [a,b] \) tal que \( f(c)=y \).
De (1) a (2) se prueba aplicando (1) a la función \( g(x)=f(x)-y \).
De (2) a (1) se prueba aplicando directamente (2) para \( y=0 \).

Hay una "erratilla" que 1) no cambia la idea central. Bien, entiendo cual sería tu definición en este caso. Mi pregunta es ¿cómo lo defines en general? Por otra parte, ¿descartas de teorema de los valores intermedios el caso trivial \( f(a)=f(b) \)?. Si no es así ¿cómo pasas de (2) a (1)?

[Luis Fuentes]

Hola

Yo si diría que son equivalentes.

¿Cómo defines en general el concepto de teoremas equivalentes?

Pues informalmente entiendo por teoremas equivalentes cuando uno se deduce del otro de manera inmediata.

Todavía más subjetivamente si subyace la misma idea en uno y en otro.

Spoiler

En este hilo en ambos casos la idea intuitiva es que una función continua se dibuja sin levantar el lápiz del papel.

[cerrar]

Digo informalmente porque si dos teoremas A y B son ciertos, entonces, estrictamente es cierto que A implica B y que B implica A, pero por eso sin más no les voy a llamar "equivalentes".

En fin, lo que quiero decir que me estoy aferrando más a una idea intuitiva del concepto de "teoremas equivalentes" que a algo totalmente riguroso.

Si me ciño a este caso, si alguien resuelve un problema usando el Teorema de los Valores Intermedios haciendo hincapié en que así ha esquivado usar el Teorema de Rolle, me parecería más una argucia legal, una cuestión burocrática, que realmente que haya encontrado un camino diferente para resolver el problema.

Entendiendo:
1) Bolzano: Si \( f:[a,b]\to \Bbb R \) continua y \( f(a)f(b)<0 \) entonces existe \( c\in \color{red}(\color{black}a,b\color{red}) \) tal que \( f(c)=0 \).
2) Intermedios: Si \( f:[a,b]\to \Bbb R \) continua y \( f(a)<y<f(b) \) (o \( f(a)>y>f(b) \)) entonces existe \( c\in [a,b] \) tal que \( f(c)=y \).
De (1) a (2) se prueba aplicando (1) a la función \( g(x)=f(x)-y \).
De (2) a (1) se prueba aplicando directamente (2) para \( y=0 \).

Hay una "erratilla" que 1) no cambia la idea central. Bien, entiendo cual sería tu definición en este caso. Mi pregunta es ¿cómo lo defines en general? Por otra parte, ¿descartas de teorema de los valores intermedios el caso trivial \( f(a)=f(b) \)?. Si no es así ¿cómo pasas de (2) a (1)?

Tanto la erratilla como ese caso particular me parecen "peccata minuta" que no afecta en absoluto a la idea de lo que quiero decir.

De todas formas te devuelvo la pregunta, ¿para ti qué serían "teoremas equivalentes"?.

Saludos.