[Pedro Romero]

Saludos , tengo la siguiente duda sobre analisis funcional;

Si \( H \) es un espacio prehilbertiano (entiendo pues que dotado de producto escalar) me piden demostar que si tengo \( M \) es un subespacio vectorial de \( H \), entonces \( \bar{M} \) (clausura del conjunto M) es tambien un subespacio vectorial de \( H \).
La verdad es que no se me ocurre ninguna propiedad que haya dado para caracterizar la clausura de un conjunto como subespacio vectorial

Si tienen alguna idea se lo agradeceria

[Luis Fuentes]

Hola

Si \( H \) es un espacio prehilbertiano (entiendo pues que dotado de producto escalar) me piden demostar que si tengo \( M \) es un subespacio vectorial de \( H \), entonces \( \bar{M} \) (clausura del conjunto M) es tambien un subespacio vectorial de \( H \).
La verdad es que no se me ocurre ninguna propiedad que haya dado para caracterizar la clausura de un conjunto como subespacio vectorial

Si tienen alguna idea se lo agradeceria

Tienes que probar que dados \( x,y\in \bar M \) y \( a,b\in \Bbb K \) entonces \( ax+yb\in \bar M \).

Como \( x,y\in \bar M \) existen sucesiones \( \{x_n\},\{y_n\}\subset M \) tales que \( x_n\to x,y_n\to y \).

Considera la sucesión \( \{ax_n+by_n\} \). Por ser \( M \) subespacio está contenida en M. Continúa...

Saludos.

[Pedro Romero]

Primero de todo muchas gracias por responder. Luego;

Hemos llegado a que tenemos una sucesion que es \( \left\{{ax_n+by_n}\right\}\subset{M} \) y que converge a \( ax+by \) por propiedades de limites de suceciones.

¿Que la sucesion este en \( M \) implica que su limite está en la clausura de \( M \) y por tanto ya se tiene por caracterización de subespacio vectorial que la clausura de \( M \) es un subespacio vectorial de \( H \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Primero de todo muchas gracias por responder. Luego;

Hemos llegado a que tenemos una sucesion que es \( \left\{{ax_n+by_n}\right\}\subset{M} \) y que converge a \( ax+by \) por propiedades de limites de suceciones.

¿Que la sucesion este en \( M \) implica que su limite está en la clausura de \( M \) y por tanto ya se tiene por caracterización de subespacio vectorial que la clausura de \( M \) es un subespacio vectorial de \( H \)?

Si; pero debes de especificar.

1) Porqué la sucesión tiene límite.
2) Cuál es ese límite.
3) Luego razonas que ese límite está en \( \bar M \), por ser límite de una sucesión de \( M \) y habrás probado lo que querías.

Es todo muy fácil; pero debes de indicarlo.

Saludos.