[ToniGim]

Buenas tardes:
Dada la elipse:

  \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

mediante la transformación \(  T:  x=aX    y=bY  \)  convierto la elipse en una circunferencia:

\(  X^2+Y^2=1  \)   
y viceversa:  \(  T':  X=x/a     Y=y/b  \)

Un punto cualquiera de la elipse \(  (x_0, y_0)  \) se transformará en  \(  (ax_0, by_0)  \)  perteneciente al círculo.

¿Qué pasaría si dentro de la elipse, concretamente en el cuarto superior derecho tuviera un círculo tangente a los ejes y a la elipse? Y al revés, en el mismo cuarto del círculo tuviera otro círculo tangente a los ejes y al círculo.

Como no se si el problema es interesante y hay algún problema con LATEX (en previsualizar no sale nada, acompaño el texto de una foto
con dibujos a mano:

 .

Si algún responsable me dijera que el problema merece la pena, haría bien los dibujos.

Saludos

Corregido Latex , falto poner el código  entre  [tex]  y  [/tex]  

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes:
Dada la elipse:

  \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \)

mediante la transformación \(  T:  x=aX    y=bY  \)  convierto la elipse en una circunferencia:

\(  X^2+Y^2=1  \)   
y viceversa:  \(  T':  X=x/a     Y=y/b  \)

Un punto cualquiera de la elipse \(  (x_0, y_0)  \) se transformará en  \(  (ax_0, by_0)  \)  perteneciente al círculo.

¿Qué pasaría si dentro de la elipse, concretamente en el cuarto superior derecho tuviera un círculo tangente a los ejes y a la elipse?

Pues que al deformar la elipse en una circunferencia, el círculo tangente se convierte en una elipse tangente.

Y al revés, en el mismo cuarto del círculo tuviera otro círculo tangente a los ejes y al círculo.

De nuevo ese círculo tangente se transforma en una elipse tangente.

Saludos.

[ToniGim]

Buenos días:
En el editor de LATEX de Rincón Matemático en advertencias pone que no hace falta colocar [tex]; hay algún otro fallo que ya se lo pasé a abdulai
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

En el editor de LATEX de Rincón Matemático en advertencias pone que no hace falta colocar [tex]; hay algún otro fallo que ya se lo pasé a abdulai

Es que efectivamente en este editor de LaTex:

https://rinconmatematico.com/mathjax/

NO hace falta encerrar las fórmulas en entre [tex]...[/tex] para visualizarlas. De hecho lo que dice es:

A diferencia de lo que ocurre en los foros, acá no es preciso que encierres las fórmulas entre los delimitadores [ tex] y [/tex].

Saludos.

[ToniGim]

Sigo con el problema:
Si corto el círculo con la recta y=x  la elipse la tendré que cortar con la    \( y=\frac{b}{a}x \)
Las dos rectas forman los ángulos t y t'
O en otras palabras; pasando a paramétricas:  C:  \( (cos(t),sen(t)) \)
y para  E: \( (acos(t'),bsen(t')) \)
¿Cuál es la relación entre t y t'?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Sigo con el problema:
Si corto el círculo con la recta y=x  la elipse la tendré que cortar con la    \( y=\frac{b}{a}x \)
Las dos rectas forman los ángulos t y t'
O en otras palabras; pasando a paramétricas:  C:  \( (cos(t),sen(t)) \)
y para  E: \( (acos(t'),bsen(t')) \)
¿Cuál es la relación entre t y t'?

mmmm... no estoy seguro de lo que quieres preguntar exactamente.

La recta \( y=x \) forma un ángulo de \( 45^o \) con el eje \( OX \).

La recta  \( y=\dfrac{b}{a}x \) forma un ángulo de \( arctan(b/a)\neq 45^o \) con el eje \( OX \).

Pero sin embargo en estas dos expresiones \( A=(cos(t),sen(t)) \) y \( A'=(acos(t'),bsen(t')) \) si te refieres respectivamente a un punto de la circunferencia y el correspondiente punto de la elipse, entonces \( t=t' \).

Fíjate que el ángulo \( t' \) de  \( A'=(acos(t'),bsen(t')) \) no es el mismo que forma la recta \( OA' \) con el eje \( OX \).

Es decir ese \( arctan(b/a)\neq 45^o \) NO es el \( t' \) de \( A'=(acos(t'),bsen(t')) \), siendo \( A' \) la recta que e obtiene de intersecar \( y=bx/a \) con la elipse.

Saludos.

[ToniGim]

Hola Luis y gracias por responder.
Incrusto un archivo de Geogebra (no lo veo en la previsualización)
Por si acaso A es la intersección de Y=X con el círculo y forma un ángulo t con OX; A' es la interseción de \( \displaystyle y=\frac{b}{a}x \) con la elipse


Mi objetivo: trabajar con un círculo es mucho más fácil que hacerlo con una elipse
1ª idea sería: si un círculo lo puedo dividir en n partes iguales con suma facilidad también lo podré hacer con una elipse mediante una TRANSFORMACIÓN
2º hallar el punto medio de una arco de elipse (lo hago en el C y aplico una T)
3º etc
saludos

Moderación: enlace a archivo geogebra corregido.

[Luis Fuentes]

Hola

Mi objetivo: trabajar con un círculo es mucho más fácil que hacerlo con una elipse
1ª idea sería: si un círculo lo puedo dividir en n partes iguales con suma facilidad también lo podré hacer con una elipse mediante una TRANSFORMACIÓN
2º hallar el punto medio de una arco de elipse (lo hago en el C y aplico una T)
3º etc
saludos

Pero no me queda claro exactamente que construcción quieres hacer en la elipse, usando auxilarmente su deformación a una circunferencia.

Cuando dices de partes iguales, no me queda claro en que sentido lo dices. Ojo, porque la transformación obviamente no conserva longitudes; entonces longitudes iguales en la circunferencia no lo serán en la elipse.

La transformación si conserva tangencias o incidencias (cualquier propiedad proyectiva). También se comporta bien con áreas multiplicándolas por un factor constante.

Una consecuencia conocida de que se comporte bien con áreas y mal con longitudes, es que permite hallar muy fácilmente el área de una elipse, pero por el contrario no ayuda a calcular su perímetro.

Saludos.

[ToniGim]

Hola Luis:
Con tu comentario, mi primera idea se va al traste: una T no conserva longitudes.
Estoy bastante pez en este tema; si se te ocurre algún apunte sencillo para empezar te lo agradecería
Saludos

[Masacroso]

Si sirve para aclararte ToniGim observa que tu transformación \( T \) se puede definir como \( T(x,y):=(ax,by) \), cuya representación matricial, usando la base ortonormal estándar de \( \mathbb{R}^2 \) dada por \( (1,0) \) y \( (0,1) \) es \( [T]=\left[\begin{smallmatrix}a&0\\0& b\end{smallmatrix}\right] \).

Entonces si, por ejemplo, tienes una curva plana parametrizada como \( \gamma :[0,1]\to \mathbb{R}^2,\, t\mapsto (\gamma _1(t),\gamma _2(t)) \) entonces, deformando el plano con \( T \) la curva plana te quedaría representada por \( (T\circ \gamma )(t)=[T]\left[\begin{smallmatrix}\gamma _1(t)\\\gamma _2(t)\end{smallmatrix}\right] \).