Hola
a) Muestre que \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{f_n(x_n)=f(x)} \) para toda sucesión \( x_n \) de puntos en \( M \) tal que \( x_n \longrightarrow{x} \) en \( M \)
Lo que he hecho:
a) \( |f_n(x_n) - f(x)|
= |\left( f_n(x_n)-f(x_n) \right) + \left( f(x_n) - f(x) \right)|
\leq |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n) - f(x)| \)
No puedes usar valor absoluto. Tienes que usar la distancia \( d \). Por la convergencia uniforme, dado \( \epsilon>0 \) existe un \( n_0 \) tal que:
si \( n\neq n_0 \) entonces \( d(f_n(y),f(y))<\epsilon \) para cualquier \( y\in M \)
Además el límite uniforme de funciones continuas es continua. Por tanto secuencialmente continua: \( f(x_n)\to f(x) \) y asi existe un \( n_1 \) tal que:
si \( n\geq n_1 \) entonces \( d(f(x_n),f(x))<\epsilon \)
Ahora si \( n\geq max(n_0,n_1): \)
\( d(f_n(x_n),f(x))\leq d(f_n(x_n),f(x_n))+d(f(x_n),f(x))<\epsilon+\epsilon \)
Saludos.