[franma]

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Considera un sistema que consta de un bloque 1 de masa \( 4m \), un bloque 2 de masa \( m \), y un bloque 3 de masa \( m \). Los bloques están conectados entre sí por una cuerda ideal, que pasa por poleas ideales sin masa ni fricción en el eje. El bloque 3 está sobre un plano rugoso de coeficiente de fricción dinámica de valor \( \mu_k=\frac{1}{\sqrt3} \), que forma un ángulo \( \theta=30° \) con la horizontal, tal como indica la figura. Se libera el sistema a partir del reposo y comienza a moverse. Indica el módulo de la tensión.



Hasta el momento hice lo siguiente:

2da ley de Newton en los 3 cuerpos:

Cuerpo 2:
y: \( T_1 - mg = ma_1 \)

Cuerpo 1:
y: \( 2T_1 - 4mg = 4ma_2 \)

Cuerpo 3 (para este tome como eje de referencia uno paralelo al plano inclinado):
x: \( -T_1 + sin(\theta)mg + f_r = ma_3 \)
y: \( N - cos(\theta)mg=0 \)

De la ultima saco la normal y por ende la fuerza de rozamiento.

\( f_r = mgcos(\theta)\mu_k = \frac{1}{2}mg \)

Quedaría finalmente:
x: \( -T_1 + mg = ma_3 \)

Además realice la ecuación de vinculo de la cual obtuve:
\( a_{C1} + 2a_{C2} + a_{C3}=0 \)

Tendría el sistema de ecuaciones:
\begin{cases}{T_1 - mg = ma_1}\\2T_1 - 4mg = 4ma_2 \\-T_1 + mg = ma_3 \\ a_{1} + 2a_{2} + a_{3}=0\end{cases}

Es correcto el razonamiento hasta aquí? Me quede trancado para resolver el sistema ya que llego a algunos resultados extraños.

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Hola, primero miraría como se mueve el sistema en ausencia de fricción, como \( m_1>m_2+m_3 \) la masa 1 desciende y las otras dos ascienden.


tomaría sistema de referencia positivo hacia arriba, todo vector, fuerzas, aceleracion, velocidad y posición , que apunte hacia arriba es positivo.


así planteo las leyes de newton para el cuerpo  2 que se supone asciende por lo que lleva signo positivo la aceleracion


\( T-mg=ma_2 \)


para el 1  la aceleracion es hacia abajo, su signo sera negativo


\( 2T-4mg=-4ma_1 \)


para el 3 te has olvidado que esta en un plano inclinado con rozamiento


\( T-mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha=ma_3 \)


donde el rozamiento va en contra del movimiento, por eso el signo negativo antes de mu y la aceleracion es positiva pues hemos supuesto va hacia arriba


y la condición de vinculo la tienes mas


\( a_2+a_3=2a_1 \)


mira te unos ejemplos


si \( a_2=-a_3 \) entonces la masa 1 no se mueve  queda en el lugar


si \( a_2=0 \) entonces \( a_1 \) es la mitad de \( a_3 \)


si \( a_3=0 \) entonces \( a_1 \) es la mitad de \( a_2 \)


 

[franma]

Buenas Richard,

Hola, primero miraría como se mueve el sistema en ausencia de fricción, como \( m_1>m_2+m_3 \) la masa 1 desciende y las otras dos ascienden.


tomaría sistema de referencia positivo hacia arriba, todo vector, fuerzas, aceleracion, velocidad y posición , que apunte hacia arriba es positivo.


así planteo las leyes de newton para el cuerpo  2 que se supone asciende por lo que lleva signo positivo la aceleracion


\( T-mg=ma_2 \)


para el 1  la aceleracion es hacia abajo, su signo sera negativo


\( 2T-4mg=-4ma_1 \)


para el 3 te has olvidado que esta en un plano inclinado con rozamiento


\( T-mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha=ma_3 \)


donde el rozamiento va en contra del movimiento, por eso el signo negativo antes de mu y la aceleracion es positiva pues hemos supuesto va hacia arriba


y la condición de vinculo la tienes mas


\( a_2+a_3=2a_1 \)


mira te unos ejemplos


si \( a_2=-a_3 \) entonces la masa 1 no se mueve  queda en el lugar


si \( a_2=0 \) entonces \( a_1 \) es la mitad de \( a_3 \)


si \( a_3=0 \) entonces \( a_1 \) es la mitad de \( a_2 \)

Dos comentarios, tienes razón mi vinculo esta mal, lo que quise escribir fue \( a_{C2} + 2a_{C1} + a_{C3}=0 \) me he liado con los dibujos en mi cuaderno y el nombre de los cuerpos que no van en el orden 1,2,3 si no 2,1,3 (de todos modos esta mal ya que no considere que el cuerpo 1 bajase).

Lo otro, no me olvide que esta en un plano inclinado, si te fijas \( N=mgcos(\theta) \) entonctes \( f_r = mgcos(\theta)\mu_k \).
Si sustituimos con los valores del ejercicio para \( \mu_k=\frac{1}{\sqrt3} \) queda:
\( mg \cdot \frac{\sqrt3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt3} = \frac{1}{2}mg \) continuando también tenemos la descomposición del peso \( mg \cdot sin(30) = \frac{1}{2}mg \) por lo que quedaría \( -T + mg = ma \) con el referencial paralelo a al plano inclinado con el eje x positivo hacia la derecha.

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

por lo que quedaría \( -T + mg = ma \) con el referencial paralelo a al plano inclinado con el eje x positivo hacia la derecha.

la aceleracion a tiene el mismo sentido que T, por lo que si en ese  sistema de referencia T es negativo, entonces a es negativo


\( -T+mg=-ma \)

[franma]

Buenas Richard,

por lo que quedaría \( -T + mg = ma \) con el referencial paralelo a al plano inclinado con el eje x positivo hacia la derecha.

la aceleracion a tiene el mismo sentido que T, por lo que si en ese  sistema de referencia T es negativo, entonces a es negativo


\( -T+mg=-ma \)

Eso es lo que me estaba faltando, con eso lo logre resolver!

Adjunto solución (atento que numere los cuerpos 1,2,3 de izquierda a derecha):

Le sumo a la primer ecuación la 3era y obtengo:
\( 0 = ma_1 - ma_3 \longrightarrow a_1=a_3 \)

Remplazo en el vinculo:
\( -2a_1=2a_2 \)
\( -a_1 = a_2 \)

\( \displaystyle \frac{-T + mg}{m} = -a_1 \)

Remplazo en la eq 2:

\( 2T - 4mg =4m(\frac{-T + mg }{m}) = -4T + 4mg \)

\( \displaystyle 6T = 8mg \longrightarrow T=\frac{8}{6}mg = \boxed{\frac{4}{3}mg} \)

Muchas gracias,
Saludos,
Franco.

[JCB]

Hola a tod@s.

Atención: esta respuesta # 5 está editada, pues contenía un error (detectado por franma, gracias) en el cálculo de las aceleraciones.

\( l_2+2l_1+l_3=cte \). Derivando respecto del tiempo,

\( v_2+2v_1+v_3=0 \). Como se trata de una cuerda continua, \( v_3=v_2 \).

\( 2v_2+2v_1=0 \),

\( v_1=-v_2 \). Derivando otra vez respecto del tiempo,

\( a_1=-a_2 \). Como \( v_3=v_2 \), \( a_3=a_2 \).

Llamo \( a_3=a_2=a \), y \( a_1=-a \).

Planteo la ecuación de la Dinámica para el bloque 2 y para el bloque 1. Por ser más pesado el bloque 1, voy a considerar que desciende, con lo cual, el bloque 2 asciende y el bloque 3 sube por el plano inclinado.

\( T-mg=ma_2 \) (bloque 2).

\( 2T-4mg=4ma_1 \), \( T-2mg=2ma_1 \) (bloque 1).

Sustituyendo \( a_2=a \) y \( a_1=-a \),

\( T-mg=ma \) (bloque 2).

\( T-2mg=-2ma \) (bloque 1).

Como ya dispongo de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (\( T \) y \( a \)), de momento prescindo del bloque 3. Resolviendo,

\( T=\dfrac{4}{3}mg, a=\dfrac{g}{3} \).

Veamos si estos valores satisfacen la ecuación de la Dinámica para el bloque 3, que es

\( T-mg\sin\theta-\mu_d mg\cos\theta=ma_3 \). Sustituyendo los valores hallados anteriormente de \( T \), \( a \) y teniendo en cuenta que \( a_3=a \),

\( \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3} \).

Como se cumple, doy por válidos los resultados de \( T \) y \( a \).

¿ Veis algo extraño en este ejercicio ?. Con esta pregunta, me refería a que la Dinámica en el plano inclinado es redundante.

Saludos cordiales,
JCB.

[franma]

Buenas JCB,

Hola a tod@s.

Planteo la ecuación de la Dinámica para el bloque 2 y para el bloque 1. Por ser más pesado el bloque 1, voy a considerar que desciende, con lo cual, el bloque 2 asciende y el bloque 3 sube por el plano inclinado.

\( T-mg=ma_2 \) (bloque 2).

\( 2T-4mg=4ma_1 \), \( T-2mg=2ma_1 \) (bloque 1).

Llamando \( a_2=a \) y \( a_1=-\dfrac{a}{2} \),

\( T-mg=ma \) (bloque 2).

\( T-2mg=2m\left(-\dfrac{a}{2}\right) \), \( T-2mg=-ma \) (bloque 1).

Como ya dispongo de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (\( T \) y \( a \)), de momento prescindo del bloque 3. Resolviendo,

\( T=\dfrac{3}{2}mg, a=\dfrac{g}{2} \).

Veamos si estos valores satisfacen la ecuación de la Dinámica para el bloque 3, que es

\( T-mg\sin\theta-\mu_d mg\cos\theta=ma_3 \). Sustituyendo los valores hallados anteriormente de \( T \), \( a \) y teniendo en cuenta que \( a_3=a \),

\( \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} \).

Como se cumple, doy por válidos los resultados de \( T \) y \( a \).

¿ Veis algo extraño en este ejercicio ?.

Saludos cordiales,
JCB.

Probando con mi valor de la tensión también se cumplen las ecuaciones 
Era un ejercicio de examen y tenia la respuesta correcta como \( 4/3 mg \)

¿Se cumple para todos los valores? Esto me ha volado la cabeza.

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Hola , la solución de JCB está correcta, no tiene nada de extraño el problema la masa 3 en el plano se comporta como si estuviera colgada verticalmente ya que su tensión es igual al peso de la cual la mitad es la componente del peso y la otra mitad rozamiento.
Se complicaría el tema si a masa 1 fuera más pequeña dónde deberíamos ver para que lado de mueven las masas.
El resultado de framma es incorrecto pues ha mezclado los subíndices, y no respeto la condición cinemática de las aceleraciones.
Según su nueva nomenclatura 123 de izq a der \( a_1+a_3=\color{blue}-\color{black} 2a_2 \) corregido y no es lo que uso para resolver el problema.

[franma]

Buenas,

Hola , la solución de JCB está correcta, no tiene nada de extraño el problema la masa 3 en el plano se comporta como si estuviera colgada verticalmente ya que su tensión es igual al peso de la cual la mitad es la componente del peso y la otra mitad rozamiento.
Se complicaría el tema si a masa 1 fuera más pequeña dónde deberíamos ver para que lado de mueven las masas.
El resultado de framma es incorrecto pues ha mezclado los subíndices, y no respeto la condición cinemática de las aceleraciones.
Según su nueva nomenclatura 123 de izq a der \( a_1+a_3=2a_2 \) y no es lo que uso para resolver el problema.

Si la aceleración es positiva hacia arriba, ¿esa ecuación no implicaría que todas las cajas subirán y/o bajaran siempre? yo plantee \( a_1 + 2a_2 + a_3 = 0 \) ósea \( a_1 + a_3 = -2a_2 \).

Saludos,
Franco.

[Richard R Richard]

Disculpa, llevas razón, la formula queda como tu dices, pero en algún lado se te ha colado un error entonces. la tensión y la aceleracion son únicas no puede haber una serie de valores compatibles.