[cristianoceli]

Hola tengo dudas con este ejercicio:

En \( \mathbb{R}  \)con la métrica usual, defina la sucesión \( \{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) para

$$x_n = \displaystyle\int_{1}^{n} \displaystyle\frac{\cos t}{t^2} dt.$$

Pruebe que \( \{ x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) es una sucesión de Cauchy

Lo que he hecho:

Consideremos \( |x_n-x_m| \) sin perder generalidad con \( m>n \). Tenemos que:

\( \left|x_n-x_m\right|=\displaystyle \left|\int_0^n\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt-\int_0^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|=\left|\int_n^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|. \)

Ahora podemos usar que: \( |\int|\leq\int|\cdots| \).

¿Como puedo llegar a esto \( \left| \displaystyle \int_n^m\frac{\cos(t)}{t^2}\,dt\right|\leq \displaystyle \int_n^m\frac{|\cos(t)|}{t^2}\,dt\leq\int_n^m\frac{dt}{t^2}. \)

y probar que la suceción es de Cauchy.


Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Te queda:
\( \displaystyle |\int_n^m \dfrac{\cos(t)}{t^2} \ dt | \leq  \int_n^m \dfrac{|\cos(t)|}{t^2} \ dt \leq \int_n^m \dfrac{1}{t^2} \ dt = \dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{m} < \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{n}  \)

Dado \( \epsilon > 0  \) existe \( n_0 \in \mathbb{N}  \) tal que \( \dfrac{1}{n_0} < \dfrac{\epsilon}{2}  \) y continuar.

[cristianoceli]

Te queda:
\( \displaystyle |\int_n^m \dfrac{\cos(t)}{t^2} \ dt | \leq  \int_n^m \dfrac{|\cos(t)|}{t^2} \ dt \leq \int_n^m \dfrac{1}{t^2} \ dt = \dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{m} < \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{n}  \)

Dado \( \epsilon > 0  \) existe \( n_0 \in \mathbb{N}  \) tal que \( \dfrac{1}{n_0} < \dfrac{\epsilon}{2}  \) y continuar.

Vale entiendo, muchas gracias.


Saludos