Autor Tema: Duda: si $$1=t^{3}-k^{3} $$, ¿pueden ser racionales k y t?

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10 Abril, 2021, 12:50 pm
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feriva

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Sean dos racionales positivos t,k; t>k. Ambos se pueden expresar por medio de fracciones que tengan un mismo denominador (por equivalencia). Entonces, supongamos

\( 1=t^{3}-k^{3}
  \)

\( 1=\dfrac{c^{3}}{a^{3}}-\dfrac{b^{3}}{a^{3}}
  \)

\( a^{3}=c^{3}-b^{3}
  \), \( a^{3}+b^{3}=c^{3}
  \).

Parece que “k” y “t” no pueden ser ambos racionales; parece que no pueden existir los cubos de dos racionales positivos a distancia de una unidad.

Pero si a WolframAlpha le doy \( 1=t^{3}-k^{3}
  \) y le digo que “t” es un racional, me dice que k también; o eso interpreto:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%3Dt%5E3-k%5E3%2C+t+is+a+rational+number

No sé si es que lo interpreto mal, si la máquina no se da cuenta o si he considerado mal algo previamente.

Saludos.

10 Abril, 2021, 04:05 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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Sean dos racionales positivos t,k; t>k. Ambos se pueden expresar por medio de fracciones que tengan un mismo denominador (por equivalencia). Entonces, supongamos
\( 1=t^{3}-k^{3}
  \) \( 1=\dfrac{c^{3}}{a^{3}}-\dfrac{b^{3}}{a^{3}}
  \) \( a^{3}=c^{3}-b^{3}
  \), \( a^{3}+b^{3}=c^{3}
  \). Parece que “k” y “t” no pueden ser ambos racionales

No existen tales racionales \( t \) y \( k \). Si existieran, tú mismo has demostrado que existen enteros \( a,b.c \) con \( abc\ne 0 \) tales que \( a^{3}+b^{3}=c^{3} \) en contradicción con el último teorema de Fermat.

P.D. Relacionado con el tema: https://fernandorevilla.es/blog/2021/03/30/hipersuperficie-en-mathbbq2/

10 Abril, 2021, 06:16 pm
Respuesta #2

feriva

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Sean dos racionales positivos t,k; t>k. Ambos se pueden expresar por medio de fracciones que tengan un mismo denominador (por equivalencia). Entonces, supongamos
\( 1=t^{3}-k^{3}
  \) \( 1=\dfrac{c^{3}}{a^{3}}-\dfrac{b^{3}}{a^{3}}
  \) \( a^{3}=c^{3}-b^{3}
  \), \( a^{3}+b^{3}=c^{3}
  \). Parece que “k” y “t” no pueden ser ambos racionales

No existen tales racionales \( t \) y \( k \). Si existieran, tú mismo has demostrado que existen enteros \( a,b.c \) con \( abc\ne 0 \) tales que \( a^{3}+b^{3}=c^{3} \) en contradicción con el último teorema de Fermat.

P.D. Relacionado con el tema: https://fernandorevilla.es/blog/2021/03/30/hipersuperficie-en-mathbbq2/

Muchas gracias, Fernando.
Imagino que el Wolfram no lo identifica así “enmascarado”.

Saludos.

10 Abril, 2021, 06:31 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

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Imagino que el Wolfram no lo identifica así “enmascarado”.

Claro, es que la fórmula cerrada que da Wolfram \( t=(-1)^{2/3}\sqrt[3 ]{k^3+1}\;\wedge \;k\in \mathbb{Q} \) informa sobre la naturaleza de \( k \) pero no de la de \( t \).

11 Abril, 2021, 10:00 am
Respuesta #4

feriva

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Imagino que el Wolfram no lo identifica así “enmascarado”.

Claro, es que la fórmula cerrada que da Wolfram \( t=(-1)^{2/3}\sqrt[3 ]{k^3+1}\;\wedge \;k\in \mathbb{Q} \) informa sobre la naturaleza de \( k \) pero no de la de \( t \).

 Puede ser, pero yo definí en el visor (o eso intenté, porque no conozco exactamente el comando que hay que utilizar en Wolfram) que “t” fuera un racional; y fíjate que “contesta” diciendo “Solve \( 1=t^3-k^3 \) for t over the rationals”.
Puede que entienda que sólo ha de trabajar con racionales y no “vea” la relación con el teorema y, con ello, tampoco vea la no existencia. Pienso que es una posibilidad, pues si no lo tiene programado... al fin y al cabo es una máquina, calcula muy deprisa lo que le dicen, pero no sabe lo que hace (es como muchos de los que se dedican a dirigir el mundo por ahí; y así estamos).

Gracias otra vez, Fernando.

11 Abril, 2021, 10:58 am
Respuesta #5

Fernando Revilla

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... fíjate que “contesta” diciendo “Solve \( 1=t^3-k^3 \) for t over the rationals”. Puede que entienda que sólo ha de trabajar con racionales y no “vea” la relación con el teorema y, con ello, tampoco vea la no existencia. Pienso que es una posibilidad, pues si no lo tiene programado... al fin y al cabo es una máquina, calcula muy deprisa lo que le dicen, pero no sabe lo que hace

Cierto, no sabe lo que hace. Parece decir: me pides que halles los \( t \) racionales, bueno, yo considero a \( k \) racional, resuelvo de forma indicada la ecuación en \( t \), y allá te las apañes tú con el \( t \).

... pero no sabe lo que hace (es como muchos de los que se dedican a dirigir el mundo por ahí; y así estamos).

Desafortunadamente saben lo que hacen y más desafortunadamente, la inmensa mayoría del mundo (mundial) no saben lo que están haciendo :).