Autor Tema: Demostrar asociatividad, idempotencia, absorbente

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10 Abril, 2021, 05:09 am
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Soofíaa

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Sea \( (E,·) \) una estructura asociativa, \( card(E)\geq{2} \), que verifica la propiedad:
para todo , se tiene \( xyx=yxy \), \( (P) \). Demuestre que:

(a)    \(  (E,·)  \) no es un grupo
(b)    \( (E,·) \) tiene elementos idempotentes. Si tiene sólo un idempotente, este es además el absorbente.
(c)    Si \( (E,·) \) es un monoide, entonces es conmutativo (es decir, que \( xy=yx \) para todo \( x, y \in{E} \))

¿Como podría demostrar esto de una forma corta? muchas gracias de antemano.

10 Abril, 2021, 09:00 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( (E,·) \) una estructura asociativa, \( card(E)\geq{2} \), que verifica la propiedad:
para todo , se tiene \( xyx=yxy \), \( (P) \). Demuestre que:

(a)    \(  (E,·)  \) no es un grupo

Si fuese grupo tomando \( y=e \) (neutro) tendríamos que \( x^2=xex=exe=x \): todo elemento es idempotente.

Además tomando \( y=x^{-1} \) tendríamos: \( x=xx^{-1}x=x^{-1}xx^{-1}=x^{-1} \). Es decir todo elemento es de orden dos.

Pero entonces para todo elemento \( x=x^2=e \). Es decir el único elemento del grupo es el neutro. Pero eso contradice que tiene cardinal mayor o igual que dos.

Saludos.

10 Abril, 2021, 01:15 pm
Respuesta #2

geómetracat

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(b)    \( (E,·) \) tiene elementos idempotentes. Si tiene sólo un idempotente, este es además el absorbente.
Si \[ x \in E \], tienes que \[ x^{2n+1}=x^nxx^n=xx^nx=x^{n+2} \] y \[ x^{2n+2}=x^nx^2x^n=x^2x^nx^2=x^{n+4} \]. Usando estas dos fórmulas, es fácil ver que \[ x^8=x^4 \] y por tanto, que \[ x^4 \] es idempotente.
Para la segunda parte imagino que hay que ver que si \[ y\in E \] entonces \[ yx^4 \] y \[ x^4y \] son idempotentes. He estado trasteando un poco pero no me ha salido.
Para la segunda parte, sea \[ e \] el único idempotente. Entonces, para cualquier \[ x\in E \] se tiene \[ (exe)^2=exeexe=e(xex)e=e(exe)e=exe \], luego \[ exe \] es idempotente y por la unicidad \[ exe=e \]. Ahora, \[ (ex)^2=exex=ex \], luego \[ ex \] es idempotente y por la unicidad \[ ex=e \]. De igual forma se prueba que \[ xe=e \].


Citar
(c)    Si \( (E,·) \) es un monoide, entonces es conmutativo (es decir, que \( xy=yx \) para todo \( x, y \in{E} \))
Si \[ e \] es el neutro, tienes que para todo \[ x\in E \], \[ x=exe=xex=x^2 \].
Luego, para todo \[ x,y\in E \] se tiene \[ xy=(xy)^2 \] y \[ yx=(yx)^2 \]. Por tanto el problema se reduce a ver que \[ (xy)^2=xyxy \] es igual a \[ (yx)^2=yxyx \]. En efecto: \[ xyxy=yxyy=yxy=xyx=xyxx=yxyx \].

Modificado
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)