Hola a todos,
Consideremos el siguiente espacio de sucesiones:
\( \displaystyle \Sigma _{m}^{+}=\left\{{ (s_{1},s_{2},...) : s_{i} \in{\left\{{1,2,3,...,m}\right\}} }\right\} \)
Para algún \( m\in{\mathbb{N}} \) fijo. A este espacio lo podemos dotar con la siguiente métrica:
Dadas dos sucesiones \( s,t \in{ \displaystyle \Sigma _{m}^{+}} \), definimos
\( d(s,t)=2^{-l} \)
Donde \( l=min \left\{{i: s_{i} \neq t_{i}}\right\} \). Un hecho que a mí me pareció sorprendente es que este espacio métrico: ¡es compacto!.
Por alguna razón, los conjuntos \( A\subset{\Sigma _{m}^{+}} \) con la siguiente propiedad son especiales en dinámica topológica:
Dado \( \epsilon >0 \), si para toda \( s\in{\Sigma _{m}^{+}} \) existe una \( t\in{A} \) tal que
\( d_{n,f}(s,t):=max\left\{{d(f^{k}(x),f^{k}(y)) : k=0,1,...,n-1}\right\}< \epsilon \)
Donde \( f \) es alguna función continua en el espacio métrico en cuestión, entonces \( A \) se llama un conjunto \( (n,\epsilon) \)-generador, o alguno libros lo llaman \( (n,\epsilon) \)-abarcado. Se puede probar también que las métricas \( d_{n,f} \) son topológicamente equivalentes por lo cual el espacio \( (\Sigma _{m}^{+}, d_{n,f}) \) aún es compacto, por lo tanto uno se puede preguntar por la cardinalidad mínima de los conjuntos \( (n,\epsilon) \)-abarcados, y esta se denota por \( span(n,\epsilon,f) \). Una vez que se tiene todo esto, se define la entropía topológica \( h(f) \) de \( f \) como el siguiente límite:
\( h(f):=\displaystyle\lim_{\epsilon \to{+}0}{ \overline{\lim}_{n \to \infty} \displaystyle\frac{1}{n} log(span(n,\epsilon,f))} \)
Lo sé
, parece un cálculo un poco truculento de efectuar, y como están a punto de ver, en general lo es.
Ahora bien, consideremos la siguiente función en \( \Sigma _{m}^{+} \) (la cual tiene nombre, algunos autores la llaman función corrimiento o simplement función shift):
\( \sigma((s_{1},s_{2},s_{3},...))=(s_{2},s_{3},s_{4},...) \)
Es decir, quitamos la primera entrada, y recorrimos todas las demás hacia la izquierda. Y lo que me interesa es calcular \( h(\sigma) \).
Esto fue lo que intenté:
Consideremos el siguiente conjunto
\( A=\left\{{s\in{\Sigma _{m}^{+}}: s_{i}=1 , i\geq{n+k+1}}\right\} \)
para \( n,k \) fijas. Notemos que \( A \) es finito, de hecho \( |A|=m^{n+k} \). Y si ustedes se toman su sucesión favorita \( s\in{\Sigma _{m}^{+}} \) entonces existe una \( t\in{A} \) tal que:
\( d(s,t)<2^{-n-k} \)
.
Por tanto,
\( d(\sigma^{n-1} (s),\sigma^{n-1} (t))<2^{-k-1} \)
De aquí, \( d_{n,\sigma}(s,t)<2^{-k-1} \), i.e , \( A \) es \( (n,2^{-k-1}) \)-abarcado.
Por definición se \( span(n,2^{-k-1},\sigma) \) se sigue que \( span(n,2^{-k-1},\sigma)\leq{m^{n+k}} \). Ahora me gustaría probar la otra desigualdad y para ello mi idea fue la siguiente:
Tomemos \( A\subset{\Sigma _{m}^{+}} \) con \( |A|\leq{}m^{n+k}-1 \), entonces podemos encontrar una sucesión \( s\in{\Sigma _{m}^{+}} \) tal que:
Para toda \( t\in{A} \) tengamos \( s_{i}\neq t_{i} \) para alguna \( i\in{\left\{{1,...,n+k}\right\}} \), de hecho en el mejor caso tenemos que
\( s_{i}=t_{i} \) para \( i=1,...,n+k-1 \), y \( t_{n+k}\neq s_{n+k} \)
Con lo cual
\( d(s,t)=2^{-n-k} \)
y por ende
\( d(\sigma^{n-1} (s),\sigma^{n-1} (t))=2^{-k-1} \)
De aquí,
\( d_{n,\sigma}(s,t)\geq{}2^{-k-1} \)
Lo cual muestra que \( span(n,2^{-k-1},\sigma)\geq{m^{n+k}} \) y por tanto \( span(n,2^{-k-1},\sigma)=m^{n+k} \).
De esta igualdad nos queda que
\( \overline{\lim}_{n \to \infty} \displaystyle\frac{1}{n} log(span(n,2^{-k-1},f))=log(m) \)
Y así, la entropía buscada es precisamente \( log(m) \).
¿Les parece suficientemente claro a ustedes?, en caso de que no, ¿qué argumentos modificarían/corrigirían para que la solución sea más clara para el lector?.
De antemano gracias.
Saludos.
